淺談不等式的一題多解

對于一個數學問題，若能根據已知與要求之間的關系，發散思維，善于聯系，多角度深入的思考，可以得到多種不同的解法，從而訓練思維的廣闊性、靈活性、深刻性。本文以兩道不等式的題目為例，淺談一題多解的應用。

例1：已知都是實數，且，，

求證：

這是一道課本中的題目，課本介紹了三種證明方法，分別是分析法、比較法和綜合法（證明過程可參見課本，不再贅述）。受課本證法的啟發，還有五種證法可供參考。

證法1：（柯西不等式）因為，，，

所以，所以

證法2：（恒等變形法）

因為

又因為，，

所以，即

又，

而，，

所以，即

故：

證法3、（三角代換法）

由題我們可設，，，

則

而

所以

證法4：（向量法）

設，，則，

，又

所以，

即

證法5：（復數法）

設，

又

所以，即

設，又

所以，即

故：

例2：已知：>0，>0，且，求的最小值

解法1：（湊配法）

因為>0，>0，，

所以

從而（當且僅當，即時取等號），

故的最小值是6

解法2：（變量分離法）

由>0，>0，，得（>1），

所以（>1）。

設（>1）

則）

因為>1，—1>0，所以

當且僅當，即當時取等號，此時

解法3：（判別式法）

由解法2，設（>1），于是

此方程有大于1的根的必要條件是

因為>1，所以；

反之當時，方程的兩個根都大于1，

故（此時）

解法4：（三角換元法）

因為>0，>0，，所以

令，于是

從而

當且僅當時，，（此時）

在一題多解的拓展中，學生可看到不同知識塊間的相關性（有利于形成知識鏈），還可看到不同人思維的差異（從別人的思維中獲得啟迪），還可看到建立在獨立思考基礎上的合作交流意義重大。在一題多用，一題多變的拓展中，學生看到了多題一法，看到了特殊與一般的轉化。在拓展的過程中，學生的情感體驗也在變化：或感嘆于我怎么沒想到，或驚嘆于數學的神奇，或陶醉于心理的積極暗示——下一次，我也要多想想，多試試。不難看出，這樣的拓展是對已有資源更充分的利用，對學生探究意識和能力的形成具有很大的促進作用。