從圓周角定理的證明體會化歸思想在初中數學教學中的滲透

初中數學人教版義務教育課程標準實驗教科書九年級上冊有關于圓周角定理證明的內容，它是先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內部和外部的一般情況都是轉化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明的。

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

已知：在⊙O中，弧BC所對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠BOC（如圖一），求證：∠BAC= ∠BOC。

分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。

在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為△AOC的外角，這時很容易得到結論；在第二、三兩種位置關系中，均可作出過點A的直徑，將問題轉化為第一種情況，同樣可以證得結論。這充分體現了一種重要的數學思想——化歸思想。

數學問題的解決幾乎都離不開化歸，只是體現的形式有所不同。計算題是利用規定的運算法則進行化歸，證明題是利用公理、定理或已經證明了的命題進行化歸，應用題利用數學模型化歸，因此，離開了化歸，數學問題將無法解決。通過一定的轉化過程，把待解決的問題轉化為已經解決或比較容易解決的問題或這類問題的某種組合，這種思想被稱之為化歸思想。從化歸的途徑上來看，大致可以分為下面兩種：

一、新知識向已有知識的轉化

在初中階段，有許多新知識的獲得或新問題的解決都是通過轉化為已知知識或已解決的問題來完成的，也就是將新知識向已有知識進行轉化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例來進行分析。

解一元二次方程時有以下四種基本解法：

（一）如果方程的一邊是關于X的完全平方式，另一邊是個非負數，則根據平方根的意義將形如（x+m）2=n（n≥0）的方程轉化為兩個一次方程而得解，此為直接開平方法。

（二）如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數的完全平方式，另一邊為非負數，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

（三）如果方程一邊能分解成兩個一次因式之積，另一邊為零，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。

（四）如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。

縱觀以上四種方法，不難發現，方法一是依據平方根的意義將二次方程轉化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問題轉移到“可開方”上來，并未完成“降次轉化”這一實質性工作，但已經為“二次”向“一次”轉化創造了條件，因而習慣上稱之為“配方法”，配方法的實質就是通過轉化為開平方來解決的。方法三即因式分解法也順利地實現了由“二次”轉化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對一般的一元二次方程，通過配方，轉化為開平方求得一般結論，即求根公式。公式法實際上已將解方程轉化成為代數式的求值問題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現。縱觀整個初中教材，不難發現除了解方程問題，還有許多知識的轉化都屬于新知識向已有知識的轉化。

二、一般情況向特殊情況的轉化

本文開頭圓周角定理的證明就是先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當的化歸方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題來解決，這也是順利解決某些問題的一種重要的化歸途徑，特別是在中考題的最后一題中，往往也有許多時候是需要先解決特殊條件下的問題，然后再通過化歸把一般情況下的問題轉化為特殊條件下的情形來解決。

三、化歸思想方法的教學策略

從上面的分析中，我們不難發現化歸思想在初中數學的學習中有著舉足輕重的作用，是一種非常重要的數學思想。那么如何在日常教學中更好的滲透和落實化歸思想呢？

（一）夯實基礎知識，完善知識結構是落實化歸思想方法教學的基礎。教學過程中，可從以下幾個方面做起：

1、重視概念、公式、法則等基本數學模型的教學，為尋求化歸目標奠定基礎。從某種意義上說，中學數學教學實際上是數學模型的教學，建立數學模型是實現問題的規范化和程序化，運用模型的過程即是轉化與化歸的過程。

2、養成整理、總結數學方法的習慣，為尋求化歸方法奠定基礎。差生之所以拿到基本題沒有思路，其根本原因是其知識結構殘缺不全。

3、完善知識結構，為尋求化歸方向奠定基礎。在平時教學中幫助學生完善知識結構，例如做好單元小結，其中畫知識結構圖或列知識表是完善知識結構使知識系統化、板塊化的有效方法之一。通過表格或網絡圖，知識之間的相互聯系、依存關系一目了然，為問題的轉化提供了準確的方向。

（二）培養化歸意識，提高轉化能力是實現化歸思想方法教學的關鍵

數學是一個有機整體，它的各部分之間相互聯系、相互依存、相互滲透，使之構成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數學問題的過程中，常需要利用這些聯系對問題進行適當轉化，使之達到簡單化、熟悉化的目的。要實施轉化，首先須明確轉化的一般原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習。因此，在平時的教學中，我們不斷教會學生解題，通過仔細的觀察、分析，由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式聯想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質、數學解題思想方法、規律以及熟知的相關問題解法，由此不斷轉化，建立條件和結論之間的橋梁，從而找到解題的思路和方法。

（三）掌握化歸的一般方法，是實現數學化歸思想方法教學的基本手段

化歸的實質是不斷變更問題，因此，可以從變形的成分這個方面去考慮，也可以從實現化歸的常用方法直接去考慮。在實際運用中，這兩個方面又是互相滲透、互相補充的。初中階段常用的化歸方法有恒等變換法，具體包括分解法、配方法、待定系數法等：其次是映射反演法，具體包括換元法、坐標法等。

（四）深入教材，反復提煉與總結是實現化歸思想方法教學的基本途徑

在數學教學中，要善于挖掘教材中蘊含的化歸思想方法，注意不斷總結化歸法解題的一般原理、提煉蘊含其中的思想方法，把化歸思想方法的教學融于各個環節之中，讓學生切實感受到化歸思想方法的存在形式及其發揮的作用。在概念形成、運用的過程中滲透化歸思想；在定理、公式的探究和發現過程中深化化歸思想方法；在問題解決過程中領悟化歸思想方法；在知識的歸納總結過程中概括化歸思想方法。在教學過程中讓學生逐漸悟出數學中常常把新知識轉化已知知識、把一般轉化為特殊的解決問題的思路和方法。