一類KdV—MKdV方程的精確解

摘要：利用變分法，得了KdV方程與廣義KdV方程新的精確解；利用直接積分法構(gòu)造了廣義KdV方程新的精確解.

關(guān)鍵詞：KdV方程；廣義KdV 方程；精確解；變分法；直接積分法

中圖分類號：G4

0 引言

求解非線性發(fā)展方程是古老而重要的研究課題， 尤其在目前微分方程研究的領(lǐng)域， 它們都是以應(yīng)用為目的， 或以物理， 力學(xué)等其他學(xué)科問題為背景的問題， 因此， 希望得到方程的一些具有意義的精確解析解.

眾所周知，KdV方程現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)物理的基本方程之一，1985年Korteweg和deVries在討論無黏（帶）不可壓縮液體表面波動力學(xué)時引入此方程，隨后在物理學(xué)與工程學(xué)的許多問題中，相繼都引出KdV—MKdV方程

（1） 它是等離子體物理和固體物理中的一個模型[8—9].

關(guān)于KdV方程的研究也十分活躍， 文獻(xiàn)[6—7]對其進(jìn)行了定性分析， 文獻(xiàn)[1—5]找到了KdV方程的一類顯式精確解， 本文利用變分法與直接積分法構(gòu)造方程（1）的精確解.

1 KdV—MKdV方程新的精確解——變分法

其中p，q為待定系數(shù)，這樣，由（9）和（10）式得

定理：在假設(shè)（9）下，當(dāng)同號時，方程（1）具有如下精確解

圖1，2 當(dāng)c=11， =3時（16）的 波形圖

Fig 1，2 The graph of the wave shape when c=11， =3 in（16）

2結(jié)論

本文利用兩種方法簡潔地求得了KdV方程與廣義KdV方程新的精確解析解. 其最大優(yōu)點是通過變量代換， 分別將求解非線性偏微分方程的問題化為求解非線性代數(shù)方程組和求解非線性常微分方程的問題， 因而較為簡潔， 本文的方法也可進(jìn)一步推廣并用于求解其他非線性偏微分方程. 這一工作目前正在進(jìn)行中.

參考文獻(xiàn)

[1]李翌神. 非線性科學(xué)選講[M]. 合肥：中國科技大學(xué)出版：1994.

[2]Guan K Y， Gao G. Sciencein China（Series（A））， 1987， （1）：64.

[3]孫峪懷， 劉福生. 一個非線性艷散色散系統(tǒng)精確解的符號計算[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報 （自然科學(xué)版 ）， 2004， 27（2）：128～129.