淺談構造三角形的方法與策略

[摘要] 三角形是平面幾何中最簡單的多邊形，其性質通俗易懂、一目了然.然而，善于利用三角形性質，即構造三角形來解決問題，則需要敏銳的洞察力、豐富的聯想力、獨特的創造力.

[關鍵詞] 構造三角形；方法與策略

中圖分類號：G4

普通高中課程標準實驗教科書《數學2（必修，人民教育出版社）》P115第7題：

設a，b，c，d∈R，對于任意p，q∈R，求證：

分析：因其外形結構具有鮮明的幾何特征：每個根號表示兩點間距離公式；整個命題表示兩條線段之和不小于第三段，設A（a，b），B（c，d），C（p，q），則所證不等式等價于|AC|+|BC|≥|AB|，這顯然與三角形兩邊之和大于第三邊有關（當且僅當點C在線段AB上時等號成立）.上述分析的過程，其本質就是構造三角形.

提起三角形，無人不知、無人不曉.三角形是平面幾何中最簡單的多邊形，其性質也是通俗易懂、一目了然.然而，善于利用三角形，即構造三角形來解決問題，尤其是解決那些令人生畏、高不可攀的數學奧林匹克試題則更是寥寥無幾.本文擬從教材一道習題來淺談構造三角形的方法與策略，因筆者水平有限，不當乃至錯誤之處敬請大家批評指正.

一、直接利用內角和等于π來構造三角形

1.（1991年全國高中數學聯賽試題）求sin280°+cos250°— sin40°cos10°的值.

分析：sin280°+cos250°— sin40°cos10°

= sin240°+sin280°—2sin40°sin80°cos60°.

顯然40°+80°+60°=180，由此聯想到三角形中的余弦定理，利用平面幾何的知識構造三角形ABC，且其外接圓的直徑為1， 依據正弦定理及余弦定理得到

sin240°+sin280°—2sin40°sin80°cos60°=（sin60°）2= .

值得注意的是：在ΔABC中，當其外接圓的直徑為1時，利用正弦定理可得三角形各邊的邊長就分別等于其對角的正弦值，即AB=sinC；BC=sinA；AC=sinB.

事實上，由上述推理過程可知，本題可以推廣為：

推廣1：若α，β∈（0，π），且α+β= ，則有sin2α+ sin2β—sinαsinβ .

推廣2：若α，β∈（0，π），且α+β=θ（θ∈（0，π）， α+β+θ=π，則有

sin2α+sin2β—sinαsinβ= sin2θ.

方法與策略：當遇到三角問題時，對角進行適當調整，使角的和恰好是π（或π的整數倍），就應考慮構造三角形，然后借助正弦（余弦）定理，往往得到新穎別致的妙解.

二、巧妙配湊內角和等于π來構造三角形

2.（2005年英國數學奧林匹克試題）已知α、β、γ為正角，且α、β、γ=π.證明：

cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1.

分析：由已知條件發現α、β、γ中至少兩個正銳角，不妨設α、β為正銳角，則有

由此構造ΔABC，使得 ， ，C=π—γ. 在ΔABC中運用余弦定理及正弦定理可得

方法與策略：本題從純三角變換的角度直接證明較為困難，運算推理過程非常復雜，將已知條件加以巧妙變形，使之滿足構造三角形的條件，得到一種構思獨特的巧解.

三、充分利用面積公式來構造三角形

3.（第15屆全俄數學奧林匹克試題）已知 ， ， ，求證：

分析：構造邊長為1的正三角形 ，在邊 ， ， 上分別取 ， ， ，使得 ， ， ，由面積分割并利用面積公式可得

有趣的是：本題就是第21屆全蘇數學奧林匹克試題的特例：若正數 ， ， ， ， ， 滿足： ，求證： ；同時也與2010年江西省高中數學競賽試題密切相關：若正數 ， ， ， ， ， 滿足： ，求證： .

4.（2010年福建廈門一中競賽模擬試題）求值： .

分析：構造 （C為直角），設BC=1， ，則 ，在邊AC上取一點D，設 ， ，則 ，由面積等積法易得

方法與策略：第3題有多種解法，如函數法、比較法、綜合法、概率法等等，之所以構造三角形是因為所證不等式（本質上與面積密切相關）等價于

第4題構造直角三角形，將復雜的三角計算轉化成極其簡單的面積計算，妙不可言！

四、依據余弦定理外形結構來構造三角形

4.若x為銳角，解方程： .

分析：巧妙配湊，原方程等價于

注意到左邊類似于余弦定理，由此構造以C為直角的 ，過C作 ，設 ， ， ，則 ，由面積分割等積法可得

5.（1998年伊朗數學奧林匹克試題）若 ，且 .

試判斷 與 的大小關系.

分析：將已知條件適當變形得到

由此結構特征類似余弦定理，據此構造三角形 ，令 ， ， ，則 ，利用三角形兩邊之和大于第三邊，即

.

五、依據正弦定理外形結構來構造三角形

6.（1997年日本數學奧林匹克試題）若 、 為銳角， ，求證： .

分析：令 ，由于 、 均為銳角，則 ，構造三角形，其內角分別為 、 、 ，其所對應的邊分別為 、 、 ，依據正弦定理可得

六、依據一些重要結論及公式來構造三角形

7.（2004年新加波國家隊選拔試題）若 ， ， ，且 ，求證：

這是三角形中一個重要結論，據此構造 ，由三角公式可得本題只要證明：

事實上，由 易得 在 恒成立，由琴生不等式可得

方法與策略：本題從 得到 ，

利用這個重要的結論構造三角形，借助琴生不等式將問題解決，讓人賞心悅目.

象這樣的結論及公式在三角中比比皆是，如：

、 等等.

七、利用兩邊之和大于第三邊來構造三角形

8.（2007年 試題）若 、 、 ，求證：

證明：（1）當 、或 、或 時，顯然成立；（2）當 、 、 時，設 ， ， ，顯然 、 、 可以構成一個三角形的三條邊（因為兩邊之和大于第三邊），則 ， ， ，因此原不等式等價于

事實上，我們熟知 中有二個結論：

因此所證不等式等價于 ，這正是著名的歐拉定理.

方法與策略：第8的確非常困難，幾乎無從入手.初看這題，似乎與三角形毫無關系，但是通過精心換元： ， ， 就發現隱含“任何兩個正數之和大于第三個正數”這一最簡單的性質，這樣就為構造三角形奠定基礎.構思奇特，讓人拍案叫絕！簡潔美就是數學美.數學往往是利用最基礎、最簡單的性質解決了極其復雜的問題，正所謂“四兩撥千斤”.事實上，上述換元之所以說精心，其本質就是圓的外切三角形.

正如荷蘭著名的數學家、數學教育家弗賴登塔爾所言，數學教師的首要任務就是引導和幫助學生進行再創造的工作，學生只有通過自己的再創造而獲得的知識，才能被掌握并靈活運用.在新課改背景下，教師引導學生創造性地開發、拓展這些習題中所蘊含的巨大能量與價值顯得尤其重要而緊迫，對于參加自主招生、各級各類競賽的考生來說如虎添翼，這正是筆者本文的目的.

參考文獻

[1]蔡玉書.數學奧林匹克不等式證明方法和技巧[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.

[2]弗賴登塔爾，陳昌平譯.作為教育任務的教學[M]. 北京：科學出版社，1973.

[3]吳振奎.數學解題的特殊方法[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.