高中物理系統動能定理的實用性研究

摘要：對于多對象（系統）問題，若物體之間的相互作用力與相對運動方向垂直，或物體沒有相對運動，那么這對相互作用力對物體做功的代數和一定為零，即內力做功為零，再沒有其他內力做功時，外力做功等于系統動能的增量；若物體之間的相互作用力與相對運動方向不垂直，如一對相互作用的滑動摩擦力做功的代數和不為零，即內力做功不為零，此時外力做功與內力做功的代數和等于系統動能的增量。

關鍵詞：系統；做功；動能增量

中圖分類號：G4

高中物理課本中動能定理的內容是：外力對物體做的功等于物體動能的增量。因為動能定理不僅適用于直線運動也適用于曲線運動，適用于恒力做功也適用于變力做功，所以用動能定理可以解決牛頓第二定律解決不了的問題，所以動能定理作為一種解決動力學問題的方法，很方便也很實用。但是動能定理的研究對象一般是單個物體，在研究能量的轉化與守恒時對于連接體的問題，必須先用“隔離法”，把物體從系統中隔離出來，再應用動能定理聯立方程組求解，就顯得比較繁瑣。如果用系統動能定理解決連接體問題就可以使過程大大的簡化。要得到系統動能定理，還必須從基本的動能定理入手進行推導：

案例1：如圖所示A、B兩個物體質量分別為m1、m2，用一根質量不計不可伸長的細繩連接置于光滑的水平面上處于靜止狀態，現用水平恒力F作用在B上使B向右運動一段位移S，求：A、B的末速度？此過程中細繩對A、B所做的功？

解析：由于連著，兩物體相同加速度，相同速度，要求A、B的末速度應該以整體為研究對象：由動能定理可得：

解方程得：

要求細繩對物體做的功，應用隔離法分別分析A、B，以A為研究對象，由動能定理可得：繩對A做的功 ；

以B為研究對象，由動能定理得：

解方程得細繩對B做的功

因為細繩對A、 B一個做正功，一個做負，大小相等，所以對AB整體來說，細繩并沒有做功，即內力做功為零。

案例2：質量為M的木板A置于光滑的水平面上，質量為m的物塊B置于A的左端，現對B施加一個水平恒力F，在F作用下A、B保持相對靜止，在水平面上運動了一段位移S，求在此過程中A、B間的摩擦力分別對A、B做的功；A、B的末速度

解析：A、B相對靜止，以A、B整體為研究對象，由動能定理得：

解方程得A、B的末速度

在分析A、B之間力的做功情況時要用隔離法，以A為研究對象，由動能定理得靜摩擦力對A做的功

以B為研究對象由動能定理得：

解方程得靜摩擦力對B做的功

可見，一對相互作用的靜摩擦力的總功為零，對系統來說內力也沒有做功。

案例3：質量為M長為L的木板A置于光滑的水平面上，質量為m的物塊B以速度v0沖上A的左端，并恰好沒有從A的右端掉下，則A、B最后的速度為？（已知A、B間的動摩擦因數為μ）

解析：由題意可得A、B最后的速度相對設為v，設A的位移為S，則B的位移為S+L。

以B為研究對象由動能定理得，—μmg ①；

以A為研究對象由動能定理得，μmg ②

①②兩式相加可得：—μmg ③

上式可理解為物體之間的滑動摩擦力做的功等于整體動能的增量，也可理解為相互之間的滑動摩擦力做功的代數和等于—μmgL，由③式可得A、B最后的速度

由以上三個例子可知：物體之間的彈力對兩物體做功的代數和為零，靜摩擦力對兩物體做功的代數和為零，滑動摩擦力對兩物體做功的代數和為—μmgL相對，所以，對于一個系統，若物體之間沒有滑動摩擦力，合外力的功等于整體動能的增量，若有滑動摩擦力做功，合外力的功大于動能的增量。表達式為：W合—fL相對=ΔEk。以下幾個案例可以用系統動能定理求解。

案例：4：質量為M長為L的木板A置于光滑的水平面上，質量為m的物塊B置于A的左端，現對B施加一個水平恒力F，在F作用下A、B發生了相對滑動，當A運動到B的右端時A、B恰好達到共同速度v，則此過程中拉力F做的功為？（已知A、B間的動摩擦因數為μ）

解析：由系統動能定理可得，WF—μmgL=

解方程得此過程中拉力F做的功WF = （M+m）v2+μmgL

案例5：如圖所示，小物塊A位于光滑的斜面體上，斜面體B位于光滑的水平面上，已知斜面的長度為L，高度為h，物塊A的質量為m，物塊A在斜面頂端靜止釋放，求當A物體滑到低端時兩物體的總動能。

解析： 由系統動能定理可得，mgh=Ek

所以當A物體滑到低端時兩物體的總動能Ek=mgh

案例6：質量為M的木塊放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v0沿水平方向射中木塊并最終留在木塊中與木塊一起以速度v運動。當子彈進入木塊的深度為s時相對木塊靜止，這時木塊前進的距離為L，若木塊對子彈的阻力大小f視為恒定，下列關系正確的是（ ）

A. fL=Mv2/2

B. fs=mv2/2

C. fs=mv02/2—（m+M）v2/2

D. f（L +s）=mv02/2—mv2/2

解析：由動能定理可直接選ACD

對于多對象（系統）問題，若物體之間的相互作用力與相對運動方向垂直，或物體沒有相對運動，如：光滑的物體在光滑的斜面體上下滑（案例5），那么這對相互作用力對物體做功的代數和一定為零，即內力做功為零。再沒有其他內力做功時，外力做功等于系統動能的增量；若物體之間的相互作用力與相對運動方向不垂直，如：一對相互作用的滑動摩擦力做功的代數和不為零（案例6），即內力做功不為零，此時外力做功與內力做功的代數和等于系統動能的增量。表達式為：W外+W內=ΔEk（其中內力的功W內=FS相對cosθ）

以上的內容可叫做系統動能定理，在研究系統能量的轉化與守恒問題中，提出此理論可以使問題變得大大的簡化，更能體現做功是能量轉化的量度。