淺談高考數學數形結合思想的應用

數形結合思想是一種重要的數學思想方法，數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關系，數量關系決定了幾何圖形的性質。把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中，把形作為手段的數形結合主要體現在不等式、方程的根、函數的值域、距離、面積等之中?，F就近幾年高考中數形結合思想的應用熱點，談談自己的解題看法。

熱點一：不等式問題

例1：若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，求實數m的取值范圍。

【解析】在同一坐標系中分別畫出函數y＝|2x-m|及y＝|3x+6|的圖象。(如圖1)，由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，所以函數y＝|2x-m|的圖象應總在函數y＝|3x+6|象的下方，因此，函數y＝|2x-m|的圖象也必經過點(－2，0)，所以m=－4。

此題屬于不等式恒成立問題，先利用圖象的上、下位置關系確定直線的位置，然后再還原即可．解不等式或證明不等式問題經常聯系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個(或多個)函數，利用兩個函數圖象的上、下位置關系來確定不等式的解集或證明不等式。

熱點二: 代數式的取值范圍問題

例2：實系數方程x2+ax+2b＝0的一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求的取值范圍。

【解析】令f(x)＝x2+ax+2b，根據題意畫出滿足條件的圖形，如圖甲。從圖2可看出：

這個二元一次不等式組就是a、b所要滿足的條件，用圖象表示點(a，b)的區域為△ABC的內部，如圖乙所示，的幾何意義為過點(a，b)與D(1，2)的直線的斜率，從圖可明顯看出有＝kAD<

即<<1

本題將二次方程根的分布，二元一次不等式組表示的平面區域，直線的斜率等有機結合，體現了形與數之間的聯系與轉化。

熱點三: 方程問題

例3：設關于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在區間(0，2π)內有相異的兩個實根α、β。

(1)求實數a的取值范圍；

(2)求α+β的值。

【解析】解法一：(1)設x＝cosθ，y＝sinθ，

則由題設知，直線l：x+y+a=0與圓x2+y2=1有兩個不同的交點A(cosα，sinα)和B(cosθ，sinθ)。

所以原點O到直線的距離小于半徑1，即

d==＜1 ∴－2＜a＜2

又∵α、β∈(0，2π)，且α≠β

∴直線l不過點(1，0)，即+a≠0

∴a≠-，即a∈(-2，-)∪（-，2）

(2)如圖3，不妨設∠xOA=α

∠xOB=β

作OH⊥AB，垂足為H

則∠BOH=

∵OH⊥AB，∴kAB?kOH=-1

∴tan=

又∵∈（0，2π）

∴α+β=或α+β=π

解法二：（1）原方程可化為sin(θ+)=-，作出函數y=sin(x+)(x∈（0，2π）)的圖象。

由圖4知，方程在（0，2π）內有相異實根α，β的充要條件是-1<-<1-≠

即-2

(2)由圖知：當-

∴α+β=

當-2

由對稱性知=，

∴α+β=

綜上所述，α+β=或α+β=。

此題若不用數形結合法，用三角函數有界性求的范圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉a≠-的限制，而從圖象中可以清楚地看出當a≠時，方程只有一解。

在解決三角函數的有關問題時，若把三角函數的性質融于函數的圖象之中，將數(量)與圖形結合起來進行分析、研究，可使抽象復雜的數量關系通過幾何圖形直觀地表現出來，這是解決三角函數問題的一種有效的思維策略。

（作者單位：甘肅省民勤縣三中）