初中數學教學中類比思想運用感悟

【摘 要】類比是根據兩個對象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。在各種邏輯推理方法中，類比思想方法是富于創造的一種方法。本文以數學教學為例，結合教學實踐談如何運用類比思想方法。

【關鍵詞】初中數學；類比思想；運用感悟

數學問題浩如煙海，面對一個個數學問題如何求解？有些學生做了大量的題目，但考試遇到新題型或只是稍微變化一下，就不知所措了，原因是在平時的學習中，缺乏掌握數學思考方法。康德曾說過：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進”。解決問題的根本思想在于尋求客觀事物的數學關系和結構的樣式，從已解決的問題中概括出思維模式，再用模式去處理類似的問題，進而形成新模式，構成相似系列，即各種概念、命題與方法的相似鏈。

因此，在數學中類比是發現概念、方法、定理、公式的重要手段，也是開拓新領域和創造新分支的重要手段。根據初中生抽象邏輯思維能力發展的特點和初中數學教材的特點，教學中恰當地應用類比方法，不僅能突出問題的本質，提高教學質量，而且有助于培養學生的創造能力等思維品質，提高認識問題和解決問題的能力。

一、概念教學中類比思想的運用

數學概念是數學知識的基礎。初中數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后創設類比發現的問題情景，引導學生去發現，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認知結構中得以同化與構建。學生對數學概念的形成過程、同化過程，就決定了對數學概念掌握的程度。波利亞也說過：“當你不能解決一個問題時，不妨回到定義去”。而各種各樣的問題也往往是在數學概念之上“開枝散葉”的。

在初中代數中“一元一次方程”和“一元一次不等式”、“一元一次方程”和“一元二次方程”、一元一次不等式”和“一元二次不等式”、“一元二次方程”和“一元二次不等式”、“二次三項式”和“一元二次方程”還有“二次函數”等概念都可以通過類比思想去展開教學。

通過對前后概念類比教學，抓住新舊概念的相似點，為新的數學概念的形成提供必要的“認知基礎”，通過與熟悉的概念類比，可使學生更好地認識、理解、掌握新的數學概念。當然要注意類比得出的結論不一定正確，應引導學生修正錯誤的類比設想，直到得出正確結果。

二、性質、定理、公式等方面類比思想的運用

歐拉曾說過：“類比就是大膽創造，不過，你應該首先找到雙方的相似屬性”。數學教育家波利亞也說：“類比就是一種相似。”把兩個數學對象進行比較，找出它們相似的地方，從而推出這兩個數學對象的其它一些屬性也有類似的地方，這在性質、定理、公式的教學中也是最常用的方法。

例如“等式的基本性質”和“方程的基本性質”、“等式的基本性質”和“不等式的基本性質”、“分式的基本性質”和“分數的基本性質”、三角形全等的判定定理”和“三角形相似的判定定理”、“線段垂直平分線的性質和判定定理”和“角平分線的性質和判定定理”、“圓的相交弦定理”和“圓的切割線定理及推論”、“扇形的面積=圓面積×n/360”、“扇形的弧長=圓周長×n/360”等都有很多相同或相似之處，在原有的認知基礎上，通過類比將這些知識緊密地聯系起來，既便以記憶又能正確記憶，為這些性質、定理、公式地準確運用奠定基礎。

在多年的教學實踐中，我從不讓學生去抄寫或默寫有關概念、性質、定理、公式等，學生也比較樂于用類比方法去理解、記憶有關概念、性質、定理、公式等，提高了他們學好數學的自信心，教學效果較好。

三、尋求解題思路中類比思想的運用

“在求解（求證）一個問題時，如果能成功的發現一個比較簡單的類比題，那么這個類比問題可以引導我們到達原問題的解答”。這是數學家波利亞在《怎樣解題》一書中的話，以下談談類比思想在尋求解題思路中的運用。

1.題目背景的類比

放在不同的背景中去研究同一類問題，這在初中數學中是常見的。也就是“換湯不換藥”，時髦說就是“重新包裝”。

例1 如圖1在鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現要在AB上建一個中轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求點E應建在距離A多遠處？

例2 如圖2有兩根直桿隔河相對，一桿高30m，另一桿高20m，兩桿相距50m，現兩桿上各有一只魚鷹，它們同時看到兩桿之間的河面上浮起一條小魚，于是以同樣的速度同時飛下來奪魚，結果兩只魚鷹同時到達，叼住小魚，兩桿底部到魚的距離BE、EC各是多少？

分析：這兩個題目都是勾股定理的應用，如圖所示的設x，在兩個直角三角形中運用勾股定理，再利用兩條斜邊相等，列出方程，求出x，進而解決問題。例1是華師版八年級《導學練》上冊87頁例3，例2是八年級期中考試的一個考題。

例1解：設AE=x km，則BE=(25－x) km

在Rt△ADE中，DE2 = AD2 + AE2 = 102+x2

在Rt△BEC中，EC2 = BC2 + BE2 = 152 +(25－x)2

∵DE=EC ∴102 + x2 = 152 + (25－x)2

解之得：x=15

答：E應建在距A點15km處。

例2的過程和例1是如出一轍的。由于平時類比思想在教學中滲透，學生在考試中的得分率較高。

2.計算方法的類比

在數學教學中，還有很多計算方法可用類比，如因式分解與因數的分解相似；分式的加、減、乘、除與分數的加、減、乘、除類似；合并同類二次根式與合并同類項雷同；單項式乘以多項式，多項式乘以多項式教學中，可以類比以前所學的乘法公式m(a+b)=ma+mb。

例：(－2a2)·(3ab2－5ab3)＝－2a2·3ab2＋(－2a2)·(－5ab3)＝－6a3b2＋l0a3b3

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

m ·( a + b ) = m·a + m · b

通過這樣新舊知識來進行類比，既有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時拓寬視野。

3.數與形的類比

中學數學中，常見的一種類比就是數形結合、函數與圖像，數學中形數之間關系是彼此相依的，要啟發學生用“數”來鞏固與研究“形”，利用“形”鞏固研究“數”。講函數時，一定要強調學生記性質、想圖形，畫圖形、想性質；對于二次函數的零點（y=0）、正數值(y>0)、負數值(y<0)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集這一類的問題也要強調學生形數聯想，利用圖解。

例3 函數y=-的圖象上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0

A.y1y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不確定

分析：這類題可以先畫出y=-的草圖(如圖3)，然后在圖象上找出滿足0

把知識看作一個過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡，學生的數學才會發展起來，要學生“會學”數學，就必須讓學生掌握基本的數學思想和方法，會“數學地”提出問題，思考問題、解決問題，而類比就是這樣一種重要的思想方法，類比的基礎是觀察，類比的關健是聯想，在實際的教學活動中要充分地挖掘和利用好類比思想方法，不斷地減少學生學習的困難，提高教學的質量和學生學習數學的興趣。

【參考文獻】

[1]G.波利亞.數學與猜想——數學中的歸納與類比[M].科學出版社，2001，7

[2]周海芳.例談類比思想在數學教學中的應用.宿州教育學院學報[J].2001（4）

[3]蘇立志.2005.淺談概念教學的若干環節.中學數學教與學編輯部出版

（作者單位：江蘇省常熟市何市中學）