最小二乘法在經濟中的應用

摘 要：本文探討了最小二乘法的基本原理，適用環境及其應用，具體是在商品銷售預測中，用最小二乘法如何進行趨勢預測，給經營者制定或調整計劃提供理論依據等。并用具體事例加以論證。

關鍵詞：最小二乘法；商品銷售預測

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）12-209-02

在實驗中，作圖法是研究各種量之間變化規律，找出對應函數關系，求經驗公式的最常用方法之一。本文介紹在曲線擬合及線性回歸方面得到廣泛應用的一種有效方法——最小二乘法。

一、最小二乘法基本原理

設各直接測得量分別為 是這組測量值的最可信賴值（真值），則各測得量的偏差為： （1）

若本組測量服從正態分布，則 在區間 中出現的幾率為： （2）

其中 是該測量列的標準偏差。

由于各測量值 彼此獨立，所以它們同時在區間 中出現的幾率為：

（3）

在設計實驗時 ，構造矛盾方程組。通過用最小二乘法將矛盾方程組轉換成未知數個數和方程個數相等的正規方程組 ，再進行求解得出 。由極大似然估計法可知 應滿足下列方程組 ：

這樣就實現矛盾方程組向正規方程組的轉換。

二、最小二乘法在經濟中的應用

1、最小二乘法在商品銷售預測中的應用

經濟預測是進行經濟決策的一個重要部分，預測的結果為制定經營決策和經營計劃提供了依據。本文簡要介紹最小二乘法在商品銷售預測中的具體應用。

例 經調查，石家莊市某商場 牌皮鞋2000年1月至12月的銷售量如下表：

表2 牌皮鞋調查表 單位:雙

月份123456

數量(雙)132516621557140516572286

7891011127

2399211323592524291028642399

首先作出表一所給調查數據的散點圖（圖略）并由散點圖可以給出方程

其次列表計算，為了計算方便，取 的值為-11，-9，-7，-5，-3，-1，1，3，5，7，9，11步長為2，其和

1

2

3

4

5-11

-9

-7

-5

-31325

1662

1557

1405

1657-14575

-14958

-10899

-7025

-4971121

81

49

25

91296

1440

1584

1728

18721755625

2762244

2424249

1974025

2745649

6

7

8

9

10

11

12-1

1

3

5

7

9

112286

2399

2113

2359

2524

2910

2864-2286

2399

6339

11795

17668

26190

315041

1

9

25

49

81

1212016

2160

2304

2448

2592

2736

28805225796

5755201

4464769

5564881

6370576

8468100

8202496

025061411815722505655713611

表3 計算結果

最后計算 與 確定的回歸直線

，

即 。 。

回歸直線方程為 。

將各期 值代入回歸直線方程得到相應的 值，填入計算表2可看出，累計 值與2000年銷售總和 相差無幾。

計算相應系數并討論相關程度

， ， ，

相關系數為 。

查相關系數表(按 )得回歸臨界值為 。（上接209頁）因為， ，說明變量x與y間存在強相關關系，可以按式 。

進行預測，預測商店2004年第一季度 牌皮鞋銷售量Y13=2088+72×13=3024；Y13=2088+72×15=3168；Y17=2088+72×17=3312

由此可見，如果某種商品在一個時期內銷售比較穩定，就可用最小二乘法進行趨勢預測，給經營者制定或調整計劃提供了理論依據。

三、對最小二乘法應用的結論與討論

最小二乘法是一種很實用的工具，通過最小二乘法在經濟中的應用，我們知道最小二乘法就是使誤差平方和達到最小的一種方法，它使各方程的誤差之間建立了一種平衡，從而防止了某一極端誤差，對決定參數的估計值取得支配地位，而這有助于揭示系統的真實的狀態，因而得到廣泛的應用。它的最大優點是：一切線性估計中，在無偏估計下，最小二乘法是其中方差最小者。它使各方程之間建立一種平衡，防止了極端誤差。但在應用上的經驗及理論研究表明：最小二乘法有一些缺憾，具體體現在精度、穩定性等方面仍需要進一步的改進。