獨立性檢驗的處理方法

摘 要：新的高中數學課程標準的建立，把原來在高中教材沒有涉及到的問題都融入了高中的教學當中，如：算法與框圖、莖葉圖、還有回歸分析和獨立性檢驗，對于這些問題的處理上也是老師和學生關注的問題，作者就獨立性檢驗一節的處理方式作以闡述，以起到拋磚引玉的作用．

關鍵詞：獨立性檢驗；假設檢驗；臨界值

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）12-178-02

本文將就以下幾個問題展開闡述：

一、獨立性檢驗的形成

獨立性檢驗的基本過程是根據客觀實踐情況和經驗，提出原假設，選好統計量，進行抽樣、試驗、計算、檢驗，進行判斷．也就是說，整個過程貫穿著通過實踐提出假設理論，再通過實踐進行檢驗．假設的過程其實就是類似與數學證明中的反證法，其基本步驟如下：

假設： ：兩分類變量沒有關系，用A、B表示兩個分類變量，若 成立 事件A與事件B獨立 .這單純是從概率的角度衡量兩個分類變量的是否有關．我們需要更進一步對相關程度進行檢驗，就是在假設 下，如果出現一個與 相矛盾的小概率事件，就可以推斷 不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率.

二、獨立性檢驗的基本思想

在新課程標準數學2-3第三章第二節對獨立性檢驗進行了明確的闡述，課本首先通過對分類變量進行定義，分類變量也稱屬性變量或定性變量，它們的不同取值僅表示個體所屬的類別，其取值是離散的．如性別變量，只能取男、女兩個值，商品的等級變量只取一級、二級……，是否吸煙，宗教信仰，國籍等等都是分類變量．分類變量的均值和方差沒有實際意義，所以不做研究．接著定義列聯表：一般為兩個或兩個以上分類變量的匯總統計表．在我們的教材中僅限于兩個分類變量的列聯表，并且每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯表稱為2×2列聯表，如下：

總計

c

總計

在假設 成立的條件下，A表示 ，B表示 ，可以通過求分類變量 占總數與分類變量 占的總數的概率（用頻率估計概率）， 恰好為事件AB發生的頻數； 和 恰好分別為事件A和B發生的頻數．由于我們可以利用頻率估計概率，所以在 成立的條件下應該有：

， ，可得：

.

即： ．

因此， 越小，說明常上網與不及格之間的關系越弱，否則，關系越強．從這個角度這能說明兩個變量間關系的強弱，而不能判斷它們具體有多大程度上有關，在此基礎上為了使不同樣本的數據有一個統一而又合理的評判標準，統計學家們經過研究后構造了一個隨機變量（卡方） = ，并且統計學家們通過實踐還得到了如下的卡方臨界值表：

P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10

k00.4550.7081.3232.0722.706

P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001

k03.8415.0246.6357.87910.828

在表格中的數字與上述式子能夠說明一個什么問題呢？上面的表格中的第一行是作為檢驗的犯錯的上界（上界也是我們要找的

那個小概率），下面的 是取值的臨界值，接下來我們就從一個具體實例中做以分析：

例 1為了考察高中生的性別與是否喜歡數學課程之間的關系，在我校學生中隨機抽取300名學生，得到如下列聯表：

喜歡數學課程不喜歡數學課程總計

男3785122

女35143178

總計72228300

由表中數據計算 的觀測值．能夠以95%的把握認為高中生的性別與是否喜歡數學課程之間有關系嗎？

解：可以有95%以上的把握認為“性別與喜歡數學課程之間有關系”．

= 4.514

因此應該斷定“性別與喜歡數學課程之間有關系”成立，并且這種判斷結果出錯的可能性約為5%，所以，約有95%的把握認為“性別與喜歡數學課程之間有關系”。

這種利用隨機變量 來確定是否能以一定的把握認為“兩個分類變量之間有關系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗。

在上述題目做判斷兩分類變量是否有關時出現了“斷定”一詞，“斷定”一詞在獨立性檢驗中的含義是指檢驗判斷，“斷定為A，B有關系”就是檢驗判斷為A，B有關系，也就是拒絕A，B無關系，即拒絕原假設 (接受假設 的對立面)。“約有95%的把握”中“把握”一詞在獨立性檢驗中的含義是指不犯錯誤的可信度，“有95％的把握”就是有95％可信度(可能性)。換而言之，應該是在原假設 成立的條件下，檢驗判斷接受原假設 犯錯誤的概率不超過5％，而不犯錯誤的概率超過95％。換句話說，就是在原假設 成立的條件下，不犯錯誤接受對立假設 錯誤的概率超過95％。對與求出的 的觀測值 越大說明可信度越高，犯錯誤的概率就越小

三、獨立性檢驗的做題步驟

通過以上的分析我們可以知道對于獨立性檢驗問題如何去分析，接下來我們就要從實際操作中研究怎么去處理這部分問題。首先我們知道從2×2列聯表的角度來說，我們對列聯表的中概率的分析可以在直觀上看出它們的概率關系，而這種直觀判斷不足之處在于不能給出推斷“兩個分類變量有關系”犯錯概率，但是獨立性檢驗就可以彌補這個不足.即首先直觀上判斷兩分類變量是否有關系，然后獨立性檢驗主要從是否有關和有多大的把握認為它們有關這兩個方面來考查，這樣以來就可以比較清晰的看出變量關系以及相關程度。那么這時候就需要借助隨機變量 來求值，進而判斷，即要推斷“X與Y有關系”，可以通過頻率估計概率進行直觀判斷，再按下面的步驟進行：

1.根據實際需要確定容許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯概率的上界 ，然后查表確定臨界值 ；

2.根據2×2列聯表與公式計算 的觀測值K；

3.如果 ，就可以推斷“兩個分類變量有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過 ；否則就犯錯誤的概率不超過 的前提下不能推斷“兩個分類變量有關系”，最后做出判斷。

例2在500人身上試驗某種血清預防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果如表所示。問：該種血清能否起到預防感冒的作用？

未感冒感冒總計

使用血清258242500

未使用血清216284500

總計4745261000

分析：在使用該種血清的人中，有 的人患過感冒；在沒有使用該種血清的人中，有 的人患過感冒，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患病率相差較大。從直觀上來看，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患感冒的可能性存在差異。

解：提出假設 ：感冒與是否使用該種血清沒有關系。由列聯表中的數據，求得：

∵當 成立時， 的概率約為0.01，

∴我們有99%的把握認為：該種血清能起到預防感冒的作用。

評注：首先提出假設檢驗的思想，根據公式計算出 的觀測值，然后對比與臨界值的大小關系，最后選擇接受假設還是拒絕假設。

利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題做出合理的推斷和預測。因此，在學習中通過統計案例的分析，理解和掌握獨立性檢驗的方法，體會獨立性檢驗的基本思想在解決實際問題中的應用，以提高我們處理生活和工作中的某些問題的能力.另外，隨著新課程標準在全國各地全面推行，對概率與統計知識的考查越來越偏重于對統計知識的考查力度，因此在這一方面我們要更加重視.