高中數(shù)學解題中克服定勢思維的策略

摘 要：在解決某些數(shù)學問題的過程中，需要克服定勢思維。本文重點針對克服定勢思維的幾種常見策略就典型例題做了詳細剖析，并及時總結方法。簡單探討了如何在平時的教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，以期能讓學生在解題過程中善于打破常規(guī)，另辟蹊徑，提高答題的速度和準確率。

關鍵詞：克服定勢思維；發(fā)散思維

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）12-119-02

人們一般習慣于正向思維，容易形成思維定勢，因此在解決某些問題時會處于“山重水復疑無路”的困境。 在這種情況下，就需要我們及時轉(zhuǎn)變思維方向，另辟蹊徑，從而使問題得以解決。 在解題過程中克服定勢思維常見的策略有正難則反、執(zhí)果索因、以退為進、轉(zhuǎn)化化歸、變換視角等。下面就這些策略分別舉例說明。

1、正難則反

我們拿到一道題目，總是習慣從正面入手，但有些數(shù)學問題如果從正面入手難度較大或者求解繁瑣，這時不妨打破思維常規(guī)，轉(zhuǎn)化為考慮問題的相反方面，實行“正難則反”策略，往往能開拓解題思路、簡化運算過程。

例1:已知集合 ，若 ，求實數(shù) 的取值范圍。

分析： ，說明集合 是以方程 至少有一個實根是大于0為元素組成的非空集合，方程 的實根分三種情況：①兩正；②一正根一零根；③一正根一負根，分別求解十分麻煩。 這時采取“正難則反”的解題策略，即在 為全集 的情況下，求出方程①兩根均為非正時 的取值范圍， 最后利用“補集”思想求解。

解析：設全集 ，

若方程 的兩根均為非正，即 ，且

由韋達定理可得 ，解得

。

【點評】對于一些比較復雜，比較抽象，條件和結論之間關系不明確，難于從正面入手的數(shù)學問題，就從問題的反面入手。 一般地說，當“結論”的反面比“結論”本身更簡單、更具體、更明確，特別是題目中出現(xiàn) “不可能”、“唯一”、“至少”、“至多”等術語時，宜考慮用“正難則反”的思想方法。

2、執(zhí)果索因

有些數(shù)學問題條件和結論之間的關系比較復雜、模糊，如果從已知條件出發(fā)，解題途徑不太容易發(fā)現(xiàn)，或者會在中途迷失方向，使解題無法進行下去。 在這種情況下，我們不妨利用“分析法”證明不等式的思想，即執(zhí)果索因，從結論逆行考慮問題，去尋覓結論成立的一些條件，由欲知確定需知，求需知利用已知，往往會收到較好的效果。

例2：設 、 、 是銳角，且 ，

求證： 。

分析：要證 ，只須證 即可。 由此，可把已知條件看成以 為變量的一元二次方程。

解析：把條件改寫為 ，

解上述方程可得 。

由于 ，故 應舍去。

所以 ，

當注意到 、 、 都是銳角時，可得 。

【點評】從求證結論結合已知條件挖掘出 是一元二次方程的根，這為探明解題思路指出了方向。

3、以退為進

在探索解題途徑時，直接解決問題復雜時不妨嘗試一下間接解決。 對于某些問題， 可以退到構成這一整體內(nèi)容的部分上，用帶有整體特征的部分來處理問題，解題思路便會豁然開朗。

例3：求 的值。

分析：正面化簡運算較困難，若仔細觀察會發(fā)現(xiàn)其結構特點接近于余弦定理的形式，故可構造三角形，利用正、余弦定理解決。

解析：原式=

由于

則假設有一個三角形，其三個內(nèi)角分別為 ，這三個內(nèi)角所對的邊依次是 ，由余弦定理得： ，

再由正弦定理得 ，

即原式= 。

【點評】在該題的解決過程中， 巧用了正、余弦定理，避免了許多煩雜的運算，從而使問題較輕松獲得解決。 當然， 這種思想方法對同學們的思維要求較高， 不易發(fā)現(xiàn)。 這就要求我們在遇到題目時， 不要拘泥于題目的表象， 充分發(fā)揮發(fā)散思維， 統(tǒng)籌考慮整個題目， 才能不拘一格地發(fā)現(xiàn)巧妙的解法。

4、轉(zhuǎn)化化歸

另有一些題目， 可通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題（相對來說對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法稱之為“轉(zhuǎn)化與化歸思想”。轉(zhuǎn)化是將數(shù)學命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程；化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。

例4：設 均為正數(shù)，且 ， ， 。則（ ）

A. B. C. D.

分析：這里要比較 三個正數(shù)的大小，而由已知條件很難求出 三個數(shù)的準確值。事實上， 仔細觀察會發(fā)現(xiàn) 分別是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象交點的橫坐標，因此可利用化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的“數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化”來進行解題。

解析：在同一直角坐標系下畫出函數(shù) 與 與 及 的圖象（如下圖）。則 表示的是函數(shù) 與 交點的橫坐標的值，同理有： 表示的是函數(shù) 與 交點的橫坐標的值， 表示的是函數(shù) 與 交點的橫坐標的值，則有 。故選A。

【點評】通過發(fā)掘函數(shù)式的幾何意義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或幾何問題或解析幾何，然后利用函數(shù)圖象或幾何圖形來解決，這也是近年來高考中常用的解題方法。

變換視角

還有一些題目，同學們會囿于思維定勢，而忽略了題目的本意，從而走入一個死胡同，對該題無從下手。 此時，我們可以嘗試變換一個角度去看問題，或者變易論題，或者換用另一種數(shù)學內(nèi)容方法來演解，或通過數(shù)形變換，從中選擇最容易突破難點的主攻方向。

例5：對任意的 使得不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。

分析：好多同學拿到這道題目，會習慣性的把 當成主元， 當成參數(shù)，導致問題無法解決。 殊不知由題目中的“對任意的 ”可將 看成主元，求的是 的取值范圍，則恰恰可把 看成參數(shù)， 理解了這一點，此題就迎刃而解了。

解析：構造關于 的函數(shù) ，只需使關于 的一次函數(shù) 的最大值小于等于 即可，即只需 即可，解得 ，即 的取值范圍是 。

【點評】某些題目含有兩個或多個參數(shù)時，可適時變換主元，從而使問題簡單化。

通過以上的例證不難看出， 在解決數(shù)學問題的過程中， 如果正面考慮沒有辦法或者解法太繁瑣時， 我們不妨及時轉(zhuǎn)變思維， 克服定勢思維，對題目靈活處理，充分發(fā)揮發(fā)散思維，就有可能會發(fā)現(xiàn)簡單解法，巧妙解法，面對難題才會得心應手。 當然，發(fā)展學生的發(fā)散思維要以扎實而豐富的基礎知識為依托， 只有這樣才能從事物的各個方面去考慮問題。 教師在教學中要鼓勵學生大膽提出問題、解決問題， 對學生要打破常規(guī)的提問，提倡一題多解，特別是選擇、填空題更是要注重非常規(guī)方法的應用。 常此下去學生的思維會更加靈敏， 面對題目才能更加靈活自如的選擇簡便解法，才會呈現(xiàn)“柳暗花明又一村”的情景。