“兩圓一線”與“兩線一圓”

中圖分類號：G623.5

在初中數學中，我們經常會接觸到這種類型的題目，一種是給出某些條件（往往是已有確定的兩個點），然后要找出符合某種條件的等腰三角形或直角三角形.據多年的實踐和觀察，絕大部分學生開始時都覺得非常迷茫，束手無策，有的是碰運氣湊出那么一兩個，總是沒有一定的方法步驟，致使答案漏解現象嚴重，或者根本不知道自己到底是否做全.久而久之，學生對此類問題就產生了一種畏懼心理，從而影響后階段（尤其是幾何和函數）的學習.本人經過多年的實踐與反思，總結出一種非常簡單而又富有實效的方法，與各位同行分享交流.

一、“兩圓一線”的問題

例1.如圖1，線段OD的一個端點O在直線l上，以OD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線l上，這樣的等腰三角形能畫多少個？

學生畏難的主要原因一是分類思想掌握不夠，還有一個重要原因是他們不能很好地利用圓規.其實，要解決這個問題，只需畫“兩圓一線”，即分別以點O、D為圓心OD長為半徑畫圓，再畫線段OD的中垂線（見圖2），就可很輕松地找到所求的四個點，也就是剛才所畫的“兩圓一線”與直線l的四個交點P1 ，P2，P3 ，P4，所以這樣的等腰三角形共有四個.

這種做法的道理其實也很簡單（見下圖3），只要運用分類的思想，即（1）當點O為等腰三角形的頂點時，因為OD=OP，所以點P在以點O為圓心，OD為半徑的圓上；（2）當點D為等腰三角形的頂點時，因為DO=DP，所以點P在以點O為圓心，OD為半徑的圓上；（3）當點P為等腰三角形的頂點時，因為PD=PO，所以點P在線段OD的垂直平分線上.

“兩圓一線”畫好后，只要找出它們與直線l的交點即可，當然要注意此處中的點O要除外，因為此時不能構成三角形.

有了以上的實例與經驗，請讀者自己解決下面兩個典型的問題：

練習1.如圖4，在4×4的方格中作以AB為一腰的等腰ΔABC，要求點

C也在格點上，這樣的ΔABC能作出 （ ）

A、2個 B、3個 C、4個 D、5個

練習2.在如圖5的直角坐標系中，直線 與 軸、 軸分別交于點B，A兩點，其坐標分別為A ，B .

（1）請求出直線 的函數解析式；

（2）點C坐標軸上且使△ABC為等腰三角形，請寫出所有符合條件的點C的坐標（不需要具體過程）.

二、“兩線一圓”的問題

例2.在如圖6中，直線l的同側有兩點A和B，請在直線l上找出點P，使得△ABP為直角三角形.這樣的點P有幾個？請在圖中都表示出來.

要解決這個問題，只需畫“兩線一圓”，即先連結AB，分別過點A、B畫線段AB的垂線，再以AB為直徑為畫圓（見圖7），就可很輕松地找到所求的四個點，也就是剛才所畫的“兩線一圓”與直線l的四個交點P1 、P2、P3 、P4，所以這樣的直角三角形共有四個.當然這種點P的個數有時會因為圖中點A、B和直線l之間的相對位置不同而發生變化.

這種做法的依據還是運用分類的思想，即（1）當點A為直角頂點時，點P在過點A且垂直于AB的直線上（圖8甲）；（2）當點B 為直角頂點時，點P在過點B且垂直于AB的直線上（圖8乙）；（3）當點P為直角頂點時，點P在以線段AB為直徑的圓上.

練習3.如圖9，在4×4方格中作以AB為

一邊的Rt△ABC要求點C也在格點上，這樣的

Rt△ABC能作出…………………（ ）

A.6個B. 7個 C. 8個` D. 9個

練習4.已知點A是拋物線 的頂點，點B也在此拋物線上，且橫坐標為5，P是坐標軸上的點，且△ABP為直角三角形.

（1）請求出滿足條件的所有點P的坐標；

（2）在以上這些三角形中，面積最大和最小的三角形的面積分別是多少？

練習4是本人原創的綜合性較強的一個題目，所涉及的知識點非常多，有二次函數、一次函數、圓的基本知識、三角形（直角三角形、三角形的面積和相似三角形等）、勾股定理、方程等等.同時也涉及了許多數學思想如函數思想、方程思想和分類思想等等.希望讀者能結合上面所述的方法自行研究，并從中得到一些啟發和感悟.

對于初中生來說，雖然他們已經解過數不勝數的數學題，但他們的理解能力、抽象思維能力和概括歸納能力等還是比較弱的，所以對一些較難的問題，教師若能經常幫助其恰當而簡潔地進行及時總結，定會收到事半功倍的效果.