如何處理排列組合中的重復問題

內容提要：在排列組合應用題中，常常遇到有關元素的重復問題，對此，學生常常把握不準，很難作出正確的分析與解答。本文主要闡述了兩類重復問題，即重復選取問題與元素重復問題。前者關鍵是弄清“誰”選“誰”，后者關鍵是處理好重復元素，可先排序后去重，亦可特殊元素優先考慮，還可以用插空等方法。

關鍵詞：重復選取；元素重復；先排序后去重；特殊元素優先考慮；插空

中圖分類號：G623.5

排列組合是高中數學中占篇幅較少的一部分內容，但自從教材中新增了概率內容后，它的地位日益攀升，常常是融入概率題中，因而它越來越被重視起來。然而在排列組合應用題中，常常遇到有關元素的重復問題，對此，學生常常把握不準，很難作出正確的分析與解答。介于此，本人作了一定的探討，也得了一些收獲，現與大家一起分享。

一、重復選取問題

常見的模式有投信、映射、放小球等等。

例1：將3封不同的信隨意投入到4個不同的信箱中，有多少種投法？

錯解1：A43=24這里誤認為每個信箱只能投一封信，而從題意來看完全有可能將3封信投入到同一信箱中。

錯解2：34=81這里誤認為每個信箱均有3種選擇，采用分步原理，即3*3*3*3=34事實上，比如信箱A選擇了信a，信箱B就不能再選信a了，因為同一封信不可能同時放入兩個不同的信箱中。

正確解法：43=64每封信都有3種放法，各封信之間沒有影響，故利用分步原理即可算得。

可以看出弄清是信選信箱還是信箱選信是解好本題的關鍵。

例2：甲、乙、丙、丁4人爭奪數、理、化三門學科競賽的冠軍，有多少種可能？

錯解：若以人為主來選冠軍，每人均有3種選擇，就會得34，事實上假如甲得了數學學科的冠軍，其他人還能再得這科的冠軍嗎？顯然不能。

正確解法：此時應以學科來選人，每門學科得主都有4種可能，即43。這里實際上包含了幾門學科同時選擇了同一個人，即一個人得了幾個科目的冠軍，在實際情況中，這確實是有可能的。

從以上兩例可以看出，很多學生對這類可重復選取問題之所以易混淆不清，關鍵是沒弄清“誰”選“誰”，在以后的解題中應引起注意。

二、元素重復問題

有這樣一個問題：若把英語單詞“hello”中字母的拼寫順序寫錯了，可能出現的錯誤有多少種？

稍作分析應知道本題的關鍵是弄清這5個字母共有多少種排列順序，再減去1即可（去掉正確的那一種），那么如何排這5個字母呢？

解析1：先排序后去重

若把5個字母看成是不同的（包括兩個“l”），所有的拼寫順序情況就是將5個字母進行全排列，但事實上兩個“l”是相同的，因而在全排列中就出現了這樣一些情況：即當h、e、o三字母排定后，都對應著兩種情況，舉例如下：heol1l2、heol2l1，因而產生重復計算，故單詞hello的所有拼寫順序共有 =60種，可能出現的錯誤有60-1=59種。

解析2：特殊元素優先考慮法

可先將兩個特殊元素“l”優先考慮。將上述問題看成坐位置問題，5個字母要占5個位置這是不會變的，可先從5個位置中選兩個位置安排兩個“l”，無須排序，即C52，再將字母h、e、o安排在其他位置并進行全排列，即A33，所以單詞hello的所有拼寫順序共有C52A33=60種，以下同上。

解析3：插空法

先將h、e、o排好，再將兩個“l”插入4個空檔。可分以下兩種情況去插：（1）分開插C42；（2）捆在一起插C41，故單詞hello所有拼寫順序共有A33（C42+C41）=60種，以下同上。

以上幾種方法都是可行的，它們是否適用與更復雜的情況呢？比如：單詞tomorrow中字母的順序拼寫錯了，可能出現的錯誤有多少種？若借用上述解析1的思路： -1=3359種。若借用上述解析2的思路：C83 C52 A33-1=3359種。若借用上述解析3的思路就要稍顯復雜一些，可先將t、m、w排好，即A33，再將兩個r插入同上述方法即C41+C42，最后再將三個o插入到已排好的五個字母中，而此時要分以下三種情況：（1）從形成的六個空里選一個將三個o都插入即C61；（2）選兩個空，其中一個插一個o，另一個插兩個o，這就涉及到順序了，因而是A62；（3）選三個空，每個里插一個o，即C63；根據加法原理應將它們相加，所以列式為A33（C41+ C42）（ C61+ A62+C63）-1=3359種。可以看出三種思路均是可以的，但對待不同的題目應適當的選擇方法，這樣才能提高解題效率。

排列組合應用題的出題題境多不勝數，怎樣才能駕馭題型的多樣化，關鍵是能否把握住各類題型的共性特征，已不變應萬變。以上是本人結合教學實際對處理排列組合中重復問題的一些微不足道的見解，僅供大家參考。