歷史視角下談高等數學概念的教學

摘要：數學邏輯用語體現數學的準確性和簡潔性，正確理解量詞對數學證明起著重要的作用。教師要在教學設計中特別關注蘊涵其中的依賴規則，特別是針對型如“對所有的x，存在y，使得R（x，y）”的命題。

關鍵詞：推理規則；量詞；一致收斂

中圖分類號：G623.5

數學證明強調數學是一門嚴謹的學科[1]，證明中嚴格的形式化演繹推理則是證明的精髓。相對于初等數學思維，高等數學思維[2]的特征是準確嚴謹的數學定義和建立在此基礎上定理的邏輯演繹，因此大部分學生對微積分的推理規則普遍感到困難，尤其是涉及到兩個不同量詞的命題，即“對所有的x，存在y，使得R（x，y）”。學生在證明拉格朗日中值[3]的時候，往往這么認為：f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a），g（b）-g（a）=g′（ζ）（b-a），兩式相除得： 。其實，這個證明是錯誤的，其實兩個式子的ζ不一定相同。

法國數學家柯西[4]是19世紀數學分析嚴格化最有影響的先驅者，他的《分析教程》成為嚴格分析誕生的標志。由于缺乏對實數系的充分理解，他使用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”等直覺描述的語言，這就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎。正如此他沒有建立一致收斂的概念，“連續函數收斂級數的極限是連續的”是柯西最著名的錯誤。這一猜想在整個18世紀都被想當然地當作是真的，因此被認為是無需任何證明，但現在可以看到柯西猜想的反例已經由傅立葉提供了[5] 。

阿貝爾是挪威人，他是19世紀分析嚴格化的倡導者和推動者。在1826年，阿貝爾也討論過“連續函數收斂級數的極限是連續的”問題。他證明的定理是錯誤的，原因同樣是忽視了依存關系法則，錯誤地把點點收斂當作一致收斂來看。

教師在教學設計過程中不僅僅要給學生強調證明的嚴格性，更為關鍵的是要教授給學生邏輯推理規則，幫助學生從語義和句法上真正理解命題，揭示命題中隱含的依存關系。

即

事實上，證明中柯西忽視了邏輯依存關系法則，從式子 中，柯西推出 當n→∞時極限是0，因為c是x介于x0和X之間的值。在這里，他認為c是一個固定的值，而其實c是依賴于n值的。

命題2：設{un（x）}是定義在區間上的點點收斂連續函數列，s（x）=limsn（x）其中前n項和sn（x）=u0（x）+u1（x）+u2（x）+…un-1（x），則s（x）是連續的。

證明：{un（x）}是定義在區間上的點點收斂連續函數列，則對每一個x，rn（x）=s（x）-sn（x）是趨向于零的：

從而有不等式：

所以很容易證明s（x）是連續的。

證明中柯西同樣忽視了邏輯推理中的依賴規則，m是依賴于s和ε的，如果忘記了這一點，就導致命題假設成級數是一致收斂的，而命題中只是點點收斂。

通過以上討論，自然就考慮，在什么樣的條件下？和函數可以保持這些分析性質，且函數項級數的每項積分（極限、導數）之和等于和函數的積分（極限、導數）呢？為此引入一個新概念——致收斂。學生自然對這個新概念產生了興趣，而且試圖去比較一致收斂和點點收斂的差別，從而對邏輯中的命題演算和謂詞演算[6][7]有更進一步的理解。

參考文獻

[1]李士崎.PME：數學教育心理.上海：華東師范大學出版社，2000年

[2][美]D.A.格勞斯，陳昌平等譯.數學教與學研究手冊.上海教育出版社，1999年

[3]同濟大學數學教研室.高等數學（下冊）（第五版）.北京：高等教育出版社，2002年

[4]李文林.數學史概論（第二版）.高等教育出版社，2003年