巧妙滲透數學模型的構建 提高低年級教學實效

摘要：無論站在大學的視野、中學的視野、還是小學的視野、又或者低年級孩子的視野，數學建模的本質，正在于它更突出地表現了原始問題的分析、假設、抽象的數學加工過程。小學數學教學中的建模，就是不斷讓學生經歷從具體事例或現實原型出發逐步抽象、概括建立起某種模型，從而加深對數學的理解和感受，提升數學學習能力。本文試從三個教學片段來嘗試說明如何在低年級課堂中建立數學模型。

關鍵詞：方法模型 結構模型 概念模型

中圖分類號：G623.5

有個相聲這么評判解決問題中的工程問題：

甲：你說小學六年級，你弄那么難的功課干嗎？問：說一大水池子，大水池子要灌水。要是開灌水管兒的話，十五個小時給弄滿了；要開那個排水管的話呀，二十四個小時排完。問倆管子一起開，幾小時灌滿？你這不吃飽了撐的嗎？

乙：怎么啦？

甲：國家水那么緊張，你灌水放那排水管子干什么呀？

確實有人質疑：日常生活中，有誰會同時打開進水管和出水管呢？其實用一種模型的觀念來審視：家庭的收入和支出、地鐵站人們的進出站檢票問題不就和水池的進水出水是同一個模型嗎？情境、素材只是表面的，模型才是最為根本的。

數學建模是構建數學模型并用它解決問題這一過程的簡稱。正如2011版《數學課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。” 其實，數學建模及教學研究在大學開展得較多，在中學中開展數學建模還處于探索階段。在小學階段來研究數學建模是否可行？在小學階段尤其是低年級課堂中，如何開展“數學建模”活動？我們面臨很多挑戰。

我以為，小學數學教學中的建模，就是不斷讓學生經歷從具體事例或現實原型出發逐步抽象、概括建立起某種模型，從而加深對數學的理解和感受，提升數學學習能力。本文試從三個教學片段來嘗試說明如何在低年級課堂中建立數學模型。

一、在舉例中建立方法模型

【教學片斷】蘇教版一年級下冊《比較數的大小》

1、探究十位不同的兩位數如何比大小。

師；你知道46和37，誰比較大嗎？

生：46>37

師：你是怎么比的呢？

生：46里面有4個十，37里面只有3個十，所以46大于37。

師：說的真好。這是四十多（課件：4□），這是三十多（課件：3□）你知道誰大嗎？

生：4□>3□

師：你能舉出一些例子嗎？

生：42>39

生：41>36

師：能不能舉出一個例子4□不是大于3□？為什么？

師：那你還知道四十多還大于幾十多嗎？（課件：4□〉□□）

生：四十多大于二十多，一十多。

師：真聰明，你還能想到什么？幾十多也大于三十多呢？（課件：□□〉3□）。

生：只要十位比三大就行了。

師：你終于發現比較兩位數大小的方法了。

在這個片斷中，教師并沒有文本刻板地揭示：“比較兩位數的大小，十位上大的那個數比較大”，而是通過一系列的比較，不斷地抽象，進行了具體層面上的舉例驗證，為以后三位數、多位數的比較數的大小打下基礎，更重要的是滲透了初步的數學建模思想。舉例的過程是去取值范圍不斷擴大的過程，是學生經驗與積累的過程，是學生思維從無序到有序、有具體到抽象、從感性到理性思考的過程，這個過程是逐步數學化的過程，是建構比較方法的過程，是建模的過程。

尤為值得稱贊的是，這個建模過程相當自然，也甚為貼切低年級學生的數學學習特點——由具體、形象的實例開始，不斷地將實例的范圍擴大，建立了適合一年級學生理解的方法模型。這種模型沒有文本化，沒有符號化，而是感性的，同時也是有一定的概括性。

二、在操作中建立關系模型

【教學片斷】蘇教版 二年級下冊 《求比一個數多幾少幾的數》

1、學生通過觀察找出數學信息，并提出數學問題。

小英擺了11個花片，小華比小英多擺3個，小華擺了多少個花片？

師：不如我們也來像他們一樣擺一擺花片吧。先想一想你準備先擺誰？小華的花片你準備怎么擺？

生操作后匯報。

師：你先擺誰？怎么擺的？

生：我先擺的是小英的。擺11個。

師：那小華的是怎么擺的？

生：先和小英擺一樣多，再擺三個。

師動畫演示

師：小華擺了多少個？你是怎么知道的？

生1：我是數的。

生2：可以從11接著數下去。

生3：我是列式計算的：11+3=14（個）

師：為什么用11+3=14？

生：小華比小英多三個，要先和小英擺一樣多，再擺三個，所以小華擺了14個花片。

2、師：如果小方比小英多擺4個，小方應該怎么擺？要擺多少個呢？

生：11+4=15（個）

師：怎么想的？

生：小華比小英多4個，要先和小英擺一樣多，再加上4個，所以小華擺了15個花片。

3、師：小麗比小英多擺8個，你能不擺花片，說一說小麗的花片應該怎么擺？怎么算小麗擺的個數？

同桌討論后匯報。

4、師：小偉比小英多擺★個，小偉怎么擺的？你能用式子表示小偉擺了多少個嗎？

這節課中操作分為以下幾個層次：操作的第一層次，理解誰是比較的標準以及通過操作直觀呈現對“小華比小英多擺3個”的意思，體會小華畫片的個數是與兩部分組成的。第二層次，進一步感知積累類似經驗。第三層次，擺脫直觀，利用表象思維。第四層次，抽象出關系，建立模型。

通過“小華多的個數”、“小方的個數”等不同變式的呈現，使學生初步感知比一個數多幾的 “模型”，雖然問題的情境在變化，但問題的本質----數量之間的結構關系是不變的。學生在解決這些問題的過程中逐漸形成求比一個數多幾及其解題策略體系“就用這個數加幾”，初步建構數學模型。引導學生不停變換題型，學生的思維在不斷的內省、自悟中得到提升，自主建構比一個數多幾的關系模型也便水到渠成了。

三、在比較中建立概念模型

【教學片斷】蘇教版 三年級下冊《認識分數》

1、分4個蘋果

師：（出示課件）

把一盤蘋果平均分成2份，每份是這盤蘋果的幾分之幾？

生：

師：盤子里幾個蘋果還不知道呢，你們為什么都認為每份是這一盤的 ？

生：因為是把這盤蘋果平均分成了2份，每一份就是這盤蘋果的 。

師：想知道盤子里幾個蘋果嗎？出示課件并填空。

2、分6個蘋果和分12個蘋果

第二次分6個蘋果與第一次分4個蘋果的處理方法相同，教師采取先不出示蘋果的個數，用遮擋的方法加強一盤蘋果整體性，得出“每份是一盤蘋果的 ”結論之后再掀開幕布，進一步積累類似經驗。

第三次分蘋果則采取是直接出示12個，讓學生平均分成兩份，學生已有初步模型，不再遮擋也能將一盤蘋果看成一個整體，得出“每份是一盤蘋果的 ”。

3、3幅圖集中呈現，在比較中求同存異，建立 的分數模型

師：剛才我們分了3盤蘋果，這3盤蘋果的個數一樣嗎？

生：一盤4個，一盤6個，一盤12個，不一樣。

師：平均分后每份的個數一樣嗎？

生：不一樣。

師：每盤蘋果的總數不同，每份個數也不一樣，為什么每份蘋果都可以用 來表示呢？

生：它們都被平均分成了2份，只要平均分成2份，每份就是它們的 。

把一些物體平均分成幾份的教學，教師并沒有在一個例題上停住腳步，而是一次列舉了三盤不同個數的蘋果，分別是4個，6個，12個，這是在“存異”，在多個不同的案例中逐步清晰抽象出學生對二分之一的認識，但是精彩之處是最后的\"求同\"，為什么他們都可以用二分之一來表示？這個問題去除了二分之一所有非本質特征，保留了其本質特征：平均分成2份，從而建立了 這個分數的模型：只要平均分成2份，每份就是它們的二分之一。

這個模型的建立過程，這里我們沒有給分數下定義，而是結合具體的例子，通過比較，在求同存異中讓學生對 這個分數有一個新的認識，有了這樣的理解，不光是在對 這個具體分數的層面上的認識，也是能夠輕而易舉推及對其他分數的認識的。

如上所述，數學建模的本質，在于它更突出地表現了原始問題的分析、假設、抽象的數學加工過程。從現實生活或者具體情境中抽象出數學問題，是建立模型的出發點；用符號表示數量關系和變化規律，是建立模型的過程；求出模型的結果并討論結果的意義，是求解模型的過程。

低年級建模的嘗試，讓我們看到了數學的抽象美，感受到數學的深刻，學生從小就收到“數學化”的熏陶。不僅僅如此，學生在探索、獲得數學模型的過程中，也同時獲得了構建數學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，而這對學生的發展來說，其意義遠大于僅僅獲得某些數學知識。因為這不僅促進了孩子數學眼光、數學意識和數學素養的提升，關鍵還促進了一種數學品質的提升。

只有如此，數學才能深刻而持久地影響著孩子的學習和生活。