對稱性在簡諧運動和簡諧波中的應用

對稱性在簡諧運動和簡諧波中普遍存在，描述質點振動的一切表征量，如回復力、加速度等都具有對稱性。下面舉例說明對稱性在具體問題中的應用。

一、利用位移對稱性

【例1】

一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則（ ）。

A.若t時刻和（t+Δt）時刻振子運動速度大小相等方向相反，則Δt一定等于T/2的整數倍

B.若t時刻和（t+Δt）時刻振子運動位移的大小相等方向相同，則Δt一定等于T的整數倍

C.若Δt=T/2，則在t時刻和（t-Δt）時刻彈簧的長度一定相等

D.若Δt=T，則在t時刻和（t-Δt）時刻振子運動的加速度一定相同

點評：不能將考查點放在特殊位置，即平衡位置或端點處。由過程的對稱性可知D正確。

二、利用速度對稱性

【例2】 在波的傳播方向上有A、B兩點，在t=0時，A和B加速度相同而速度不同，經t=0.01s時，A和B的速度首次變為相同，此波的波長為2m，則波速可能為（ ）。

A.50m/s B.66.7m/s C.150m/s D.200m/s

解析：A、B兩質點初態加速度相同，位移相等，速度不等，初態時A、B關于波峰或波谷對稱。A、B兩質點末態的速度相等，A、B的末態位置關于中間一處于平衡位置的質點C對稱。綜合分析畫出如圖1所示波形。t=0到t=0.01s時間內，C點恰好從初態位置C1回到平衡位置C0。若波向右傳播，則傳播的距離為s1=λ4=0.5m，對應的時間為t1=0.01s，v=s1t1=50m/s。若波向左傳播，則傳播的距離為s2=3λ4=1.5m，對應的時間為t2=0.01s，v=s2t2=150m/s此題正確選項為A、C。

三、利用加速度對稱性

【例3】 如圖2所示，自由下落的小球下落一段時間后與彈簧接觸，當彈簧被壓縮到最短時，小球的加速度大小為（ ）。

A.小于g B.等于g

C.大于gD.無法判斷

分析：若小球與彈簧接觸后立即與彈簧黏合在一起，那么小球以后將做簡諧運動，至少在小球反彈離開彈簧前，小球的運動可看成簡諧運動的一部分。小球在接觸點P僅受重力，加速度大小為g，根據振動的對稱性，小球在對稱點P′的加速度大小也為g，從對稱點P′到最低點M，彈簧壓縮量進一步增加，小球加速度也隨之增大，所以C選項正確。

四、利用能量對稱性

【例4】 原長為30cm的輕彈簧豎立于地面，下端固定在地面上，質量為m=0.1kg的物體放到彈簧頂部，物體靜止，平衡時彈簧長為26cm。如果物體從距離地面130cm處自由下落到彈簧上，當物體壓縮彈簧到距離地面22cm時，不計空氣阻力，取g=10m/s2，重物在地面時，重力勢能為零。則（ ）。

A.物體的動能為1J

B.物體的重力勢能為1.08J

C.彈簧的彈性勢能為0.08J

D.物體的動能和重力勢能之和為2.16J

解析：當彈簧距離地面26cm時的位置O即是物體做簡諧運動的平衡位置。根據動能的對稱性可知，物體與地面相距30cm時C位置的動能和距離22cm時B位置的動能相等。因此只要求出物體自由下落到剛接觸彈簧時的動能即可。由機械能守恒定律可得：

mgh1=Ek，Ek=0.1×10×（130-30）×10-2=1J，

C到B的過程mgh2=ΔE彈，E彈=0.1×10×8×10-2=0.08J，

故選A、C。

五、利用回復力對稱性

【例5】

輕彈簧的一端固定在地面上，另一端與輕木板P相連，質量為m的物體A固定在P上，豎直向下的力F作用在A上，A靜止。問：若突然撤去力F，A運動到最高點時，彈簧對A的作用力多大？

解析：撤去力F后，A將在豎直方向做簡諧運動。撤去力F的瞬間，A處在運動的最低點，此時回復力大小為F，方向豎直向上。由對稱性可知，A運動到最高點時，A受到的回復力大小也為F，方向豎直向下。由于A受到的回復力是其重力與彈簧對它彈力的合力，所以，在最高處有F=mg-N，N=mg-F。

（責任編輯 黃春香）