單擺周期測(cè)量次數(shù)與測(cè)量精度的討論

生活中經(jīng)常可以看到懸掛起來(lái)的物體在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，如果細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。

1582年伽利略發(fā)現(xiàn)了擺的等時(shí)性原理，指出擺的周期與擺長(zhǎng)l的二次方根成正比， 而與振幅、擺球的質(zhì)量、材料無(wú)關(guān)。為后來(lái)擺鐘的設(shè)計(jì)與制造奠定了基礎(chǔ)。1673年，荷蘭科學(xué)家惠更斯，制造的惠更斯擺鐘就運(yùn)用了擺的等時(shí)性原理，西方工藝家們把擺的等時(shí)性原理用于鐘上，做出了穩(wěn)定的“定時(shí)器”，使機(jī)械鐘能夠“指示”出秒，從而將計(jì)時(shí)器的精度提高了100倍。 單擺實(shí)驗(yàn)作為一個(gè)經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，是眾多形形色色，用途各異的精密擺的基礎(chǔ)，它不僅在學(xué)生科學(xué)實(shí)驗(yàn)方面有很大作用，在科學(xué)研究和儀器設(shè)計(jì)等方面也有重要價(jià)值。

荷蘭物理學(xué)家惠更斯通過(guò)詳盡地研究單擺的振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅，擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。并確定了計(jì)算單擺周期的公式：

T=2πl(wèi)g （1）

式中l(wèi)為擺線長(zhǎng)度，就是從懸點(diǎn)到小球球心的距離，T為擺動(dòng)周期，g為本地區(qū)重力加速度。

在單擺實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)樾∏虻闹睆竭h(yuǎn)小于擺長(zhǎng)，可忽略。由此可推出單擺法測(cè)量本地區(qū)重力加速度的公式：

g=4π2lT2 （2）。

也就是說(shuō)：如果測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)l，單擺的擺動(dòng)周期T，就可以求出本地區(qū)的重力加速。

用單擺法測(cè)量本地區(qū)重力加速度g的方法比較簡(jiǎn)單，而且易于操作，所測(cè)得的結(jié)果與理論值比較接近，相對(duì)誤差較小，為了提高測(cè)量精度應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

1.盡量減小單擺的擺動(dòng)角度，應(yīng)使其不大于3度。

2.應(yīng)采用體積較小的球和質(zhì)量較輕的非彈性線。

3.應(yīng)合理地選擇測(cè)量周期的次數(shù)。

前兩點(diǎn)要求比較容易滿足，那么怎樣選擇測(cè)量周期的次數(shù)呢？如果僅讓單擺擺動(dòng)一個(gè)周期就計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí)，這樣的測(cè)量結(jié)果將很不準(zhǔn)確。選擇擺動(dòng)的周期過(guò)多，則費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，因此需要合理地選擇擺動(dòng)周期與擺長(zhǎng)。

下面根據(jù)單擺公式、誤差均分原理、擺長(zhǎng)參數(shù)、儀器精度對(duì)重力加速度精度與測(cè)量周期次數(shù)的關(guān)系進(jìn)行討論。

由誤差理論知，本地區(qū)重力加速度g的相對(duì)不確定度（測(cè)量精度）： Ur（g）=Ugg=（ULL ）2+（2UTT ） 2 （3）

又由誤差均分原理得（ULL ）2=（2UTT ）2=U2r2 ，

若要求本地區(qū)重力加速度g的相對(duì)不確定度（測(cè)量精度） Ur（g）<1%，則要求：擺長(zhǎng)的絕對(duì)不確定度 UL

擺動(dòng)周期的絕對(duì)不確定度UT

下面按照以上所得公式進(jìn)行舉例計(jì)算。

例如：?jiǎn)螖[擺長(zhǎng)L≈45cm，由公式（1）可算出擺動(dòng)周期T≈1.35s。

若要求測(cè)得的本地重力加速度g的測(cè)量精度<1%。

由公式（5）得UT<0.0048s，又已知秒表測(cè)一次的UT=0.2s，

測(cè)擺動(dòng)周期次數(shù)為不小于0.2/0.0048=42次。

即當(dāng)擺長(zhǎng)為45cm，選用機(jī)械秒表（儀器不確定度為0.2秒），若要求測(cè)量的本地重力加速度g的測(cè)量精度要求<1%，測(cè)擺動(dòng)周期次數(shù)應(yīng)大于等于42次。為了方便計(jì)算擺動(dòng)周期次數(shù)常取整數(shù).如取測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)為50次.測(cè)量表格如下：

同理，按照上述推導(dǎo)方法還可推出：要求本地重力加速度g的測(cè)量精度，

若單擺擺長(zhǎng)L約等于50cm，測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)不少于40次；

若單擺擺長(zhǎng)L約等于60cm，測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)不少于37次；

若單擺擺長(zhǎng)L約等于70cm，測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)不少于34次；

若單擺擺長(zhǎng)L約等于80cm，測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)不少于31次；

若單擺擺長(zhǎng)L約等于90cm，測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)不少于30次，

若單擺擺長(zhǎng)L約等于100cm，測(cè)量擺動(dòng)周期次數(shù)不少于28次。

同樣，按照上述推導(dǎo)方法，也可推出其他本地重力加速度g的精度要求下，不同的擺長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的測(cè)量最少擺動(dòng)次數(shù)。

（責(zé)任編輯 易志毅）