單擺周期測量次數與測量精度的討論

生活中經常可以看到懸掛起來的物體在豎直平面內擺動，如果細線的質量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。

1582年伽利略發現了擺的等時性原理，指出擺的周期與擺長l的二次方根成正比， 而與振幅、擺球的質量、材料無關。為后來擺鐘的設計與制造奠定了基礎。1673年，荷蘭科學家惠更斯，制造的惠更斯擺鐘就運用了擺的等時性原理，西方工藝家們把擺的等時性原理用于鐘上，做出了穩定的“定時器”，使機械鐘能夠“指示”出秒，從而將計時器的精度提高了100倍。 單擺實驗作為一個經典實驗，是眾多形形色色，用途各異的精密擺的基礎，它不僅在學生科學實驗方面有很大作用，在科學研究和儀器設計等方面也有重要價值。

荷蘭物理學家惠更斯通過詳盡地研究單擺的振動，發現單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅，擺球的質量無關。并確定了計算單擺周期的公式：

T=2πlg （1）

式中l為擺線長度，就是從懸點到小球球心的距離，T為擺動周期，g為本地區重力加速度。

在單擺實驗中，因為小球的直徑遠小于擺長，可忽略。由此可推出單擺法測量本地區重力加速度的公式：

g=4π2lT2 （2）。

也就是說：如果測出單擺的擺長l，單擺的擺動周期T，就可以求出本地區的重力加速。

用單擺法測量本地區重力加速度g的方法比較簡單，而且易于操作，所測得的結果與理論值比較接近，相對誤差較小，為了提高測量精度應該注意以下幾點：

1.盡量減小單擺的擺動角度，應使其不大于3度。

2.應采用體積較小的球和質量較輕的非彈性線。

3.應合理地選擇測量周期的次數。

前兩點要求比較容易滿足，那么怎樣選擇測量周期的次數呢？如果僅讓單擺擺動一個周期就計數、計時，這樣的測量結果將很不準確。選擇擺動的周期過多，則費時、費力，因此需要合理地選擇擺動周期與擺長。

下面根據單擺公式、誤差均分原理、擺長參數、儀器精度對重力加速度精度與測量周期次數的關系進行討論。

由誤差理論知，本地區重力加速度g的相對不確定度（測量精度）： Ur（g）=Ugg=（ULL ）2+（2UTT ） 2 （3）

又由誤差均分原理得（ULL ）2=（2UTT ）2=U2r2 ，

若要求本地區重力加速度g的相對不確定度（測量精度） Ur（g）<1%，則要求：擺長的絕對不確定度 UL

擺動周期的絕對不確定度UT

下面按照以上所得公式進行舉例計算。

例如：單擺擺長L≈45cm，由公式（1）可算出擺動周期T≈1.35s。

若要求測得的本地重力加速度g的測量精度<1%。

由公式（5）得UT<0.0048s，又已知秒表測一次的UT=0.2s，

測擺動周期次數為不小于0.2/0.0048=42次。

即當擺長為45cm，選用機械秒表（儀器不確定度為0.2秒），若要求測量的本地重力加速度g的測量精度要求<1%，測擺動周期次數應大于等于42次。為了方便計算擺動周期次數常取整數.如取測量擺動周期次數為50次.測量表格如下：

同理，按照上述推導方法還可推出：要求本地重力加速度g的測量精度，

若單擺擺長L約等于50cm，測量擺動周期次數不少于40次；

若單擺擺長L約等于60cm，測量擺動周期次數不少于37次；

若單擺擺長L約等于70cm，測量擺動周期次數不少于34次；

若單擺擺長L約等于80cm，測量擺動周期次數不少于31次；

若單擺擺長L約等于90cm，測量擺動周期次數不少于30次，

若單擺擺長L約等于100cm，測量擺動周期次數不少于28次。

同樣，按照上述推導方法，也可推出其他本地重力加速度g的精度要求下，不同的擺長所對應的測量最少擺動次數。

（責任編輯 易志毅）