函數定義域求法回眸

函數作為高考經常考查的重點內容之一，在選擇、填空、解答題中都有體現.而作為函數的三要素之一——定義域，更是研究函數的前提基礎.

回眸一、根據函數解析式求函數的定義域

【例1】 求下列函數的定義域.

（1）f（x）=1x-2；（2）f（x）=3x+2；（3）y=（x+1）0|x|-x.

解：（1）∵x-2=0，即x=2時，分式1x-2沒有意義，

故其定義域為{x|x≠2}.

（2）要使根式3x+2有意義，需3x+2≥0，即x≥-23，故此函數的定義域為[-23，+∞）.

（3）根據函數的解析式有

x+1≠0，|x|-x>0，

可得函數的定義域為{x|x<0，且x≠-1}.

評注：根據函數的解析式y=f（x）求函數定義域時，從本例可以看出要注意以下幾點：

（1）若f（x）為多項式，則其定義域為R；

（2）分式的分母不為0；

（3）偶次根式中的被開方式不小于0；

（4）對數的真數大于0，底數大于0且不等于1；

（5）零指數冪的底數大于0.

回眸二、求復合函數的解析式

【例2】 （1）已知函數y=f（x）的定義域為[-1，2]，求函數y=f（x+2）的定義域；

（2）已知函數y=f（x+2）的定義域為[-1，2]，求函數y=f（x）的定義域；

（3）已知函數y=f（x+2）的定義域為[-1，2]，求函數y=f（2x-1）的定義域.

解：（1）已知函數y=f（x）的定義域為[-1，2]，故-1≤x≤2，y=f（x）中的x與y=f（x+2）中的x+2的地位一樣，∴-1≤x+2≤2，∴-3≤x≤0，故y=f（x+2）的定義域為[-3，0].

（2）已知函數y=f（x+2）的定義域為[-1，2]，故-1≤x≤2，∴1≤x+2≤4，而y=f（x+2）中的x+2與y=f（x）中的x的地位一樣，∴1≤x≤4，故y=f（x）的定義域為[1，4].

（3）已知函數y=f（x+2）的定義域為[-1，2]，故-1≤x≤2，∴1≤x+2≤4，而y=f（x+2）中的x+2與y=f（2x-1）中的2x-1的地位一樣，∴1≤2x-1≤4，

∴1≤x≤52，故y=f（x）的定義域為[1，52].

評注1：認真理解“y=f（x+2）中的x+2與y=f（2x-1）中的2x-1的地位一樣”，

它具體體現了對應關系“f”的具體含義.

評注2：已知f（x）的定義域，求復合函數y=f[g（x）]定義域的一般解法是：若f（x）的定義域為D，則y=f[g（x）]的定義域是使g（x）∈D有意義的x的集合.

評注3：已知復合函數y=f[g（x）]的定義域，求f（x）定義域的一般解法是：若y=f[g（x）]的定義域為D，則g（x）上D的取值范圍（即g（x）上D的值域）即為f（x）的定義域.

回眸三、求抽象函數的定義域

【例3】 已知函數y=f（x）的定義域為[a，b]，其中a<0b，求函數g（x）=f（x）+f（-x）的定義域.

解：因為函數y=f（x）的定義域為[a，b]，∴a≤x≤b，若使f（-x）有意義，必須有a≤-x≤b，即-b≤x≤-a，∵a<00>b，

又∵|a|>b>0，∴a<-b，b<-a.

函數g（x）=f（x）+f（-x）的定義域為{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.

評注：所謂抽象函數，就是沒有給出具體的解析式，只是給出了函數的簡單的性質或特征的函數.要解決此類問題，應明確兩個概念：一是函數定義域的定義，二是對應關系“f”的具體含義.上例中，若函數g（x）的定義域為M，f（x）、f（-x）的定義域為A、B，則有M=A∩B，利用數軸分析可得，公共部分即為函數的定義域.

回眸四、求實際函數的定義域

【例4】

用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如右圖），若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y和x的函數關系y=f（x），并求其定義域.

解：設AB=2x，則弧CD=πx，∴AD=l-2x-πx2

，∴y=2x·l-2x-πx2+πx22，∴y=-π+42x2+lx.

由AB>0，AD>0得2x>0，l-2x-πx2>0，

故0

評注：當函數由實際問題給出時，函數的定義域由實際問題決定.

（責任編輯 金 鈴）