淺談觀察法在數學解題中的應用

在數學中，判斷解題是否合理的標準，在于其論據是否充分、推理是否嚴謹、結論是否正確，而不決定于采用什么樣的方法.

一、從式子進行觀察

【例1】 解方程：xx11=11.

解：顯然x>0.方程兩端各11次乘方，得（x11）x11=1111.

可見x11=11，即x=1111為原方程的解.

反之，若x>1111，則由冪函數和指數函數的單調性可知

x11>（1111）11=11，xx11>x11>=11；

若1

x11<（1111）11=11，xx11

若00，必有xx11≤1.

綜上所述，只要x≠1111，就有xx11≠11.故原方程之根為x=1111.

【例2】 證明恒等式（x-b）（x-c）/（a-b）（a-c）

+（x-c）（x-a）/（b-c）（b-a）

+（x-a）（x-b）/（c-a）（c-b）=1.

證：將等式看作x的二次方程，顯然，x=a、x=b、x=c為該方程之根，又原式有意義時，a、b、c互不相等，則關于x的二次方程有三個相異根，矛盾，故原等式必為恒等式.

二、借助于圖形觀察

【例3】 求使方程組

x2-y2=a2，

x2+y2-2x=0

恰有三組解的a之值.

解：若a≠0，則雙曲線x2-y2=a2與圓x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1最多只有兩個公共點，方程組不能有三組解.當a=0時，方程組恰有三組解.

x1=0，y1=0；

x2=1，y2=1；

x3=1，y3=-1.

故當且僅當a=0時，方程組恰有三組解.

三、取特殊值觀察

【例4】 設θ∈[0，π2]，解方程sinθ（sinθ-1）=cosθ.

解：注意到θ∈（0，π2）時方程左邊為正，右邊為負，

∴方程在θ∈（0，π2）上無解.

故原方程在θ∈[0，π2]上只有解θ=π2.

利用觀察法，常可使一些問題的求解方法化難為易，求解過程去繁從簡.如上例4，若用公式sinθ=2t/（1+t2），cosθ=（1-t2）/（1+t2），

則原方程化為2t1+t2·（2t1+t2-1）=1-t21+t2.

其中t=tan12θ.化簡得t4-2t3+4t2-2t-1=0

.（*）

用綜合法知方程（*）有解t=1，即tan12θ=1.又12θ∈[0，12π]，12θ=π4，可知θ=π2為原方程之解.再令f（t）=t3-t2+3t+1，

則f′（x）=3t2-2t+3.

∵Δ=（-2）2-4×3×3<0，∴f′（t）>0，f（t）為增函數.

又θ∈[0，12π]，

則t∈[0，1]，故f（t）≥f（0）=1>0.

f（t）=0無實數解，因此原方程除θ=12π外別無他解.

顯然，這種解法較之前面的解法麻煩得多.由此可見，觀察法是一種可靠的科學方法.但是，由于我們在教學中對觀察法重視不夠，致使有的學生不能很好地掌握觀察法的要領，學生常常敘述得不夠完整而使解題過程顯得不合邏輯.還是上面所舉的例子，學生往往將原方程化為（*）以后，觀察出方程有根t=1而求得θ=π2，沒有證明f（t）=f3-t2+3t+1在[0，π2

]無實根，便說原方程的解是1=π2，這就缺乏說服力了.但這不是觀察法本身的問題，而是由于沒有掌握觀察法的要領而出現的問題.

一般說來，觀察法的要領是：若能觀察出問題的所有解，則須說明“除此無他”；如果只能觀察出問題的部分解，則應該用其他方法求出未觀察出來的所有解.

數學解題中可以猜到其解，有時還應當大膽地猜測，但對猜測的結果必須嚴格證明.因此，猜測本身只有助于問題的解決，并未徹底解決問題；而觀察法由于包含了觀察和論證兩方面，是一個完整的解題過程，與猜測其實是有本質區別的.

（責任編輯 金 鈴）