常見恒成立問題的等價方法

一、等價為均值不等式求最值

【例1】 （2010，山東）x>0，xx2+3x+1≤a，求a的取值范圍.

分析：令y=xx2+3x+1，化簡得y=1x+1x+3，轉化成均值不等式的處理問題，等價于求y的最大值.

類似題：（1）若不等式x2+ax+4≥0對一切x∈（0，1]恒成立，求a的取值范圍；

（2）若關于x的不等式|x-1|+|x+2|≥a恒成立，試求a的范圍.

二、等價為二次函數求最值

【例2】 a4x+2x+1>0，對于x（-∞，1]恒成立，求a的取值范圍.

分析：不等式兩邊同時除以4x，得a>-2x-14x，即a>-（12x）2-（12x），利用換元法，等價于求二次函數的最值問題，特別注意換元后變量的取值范圍.

類似題：關于x的方程9x+（4+a）3x+4=0恒有解，求a的取值范圍.

三、等價為變更主元法

【例3】 a∈[-1，1]，f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，求實數x的取值范圍。

分析：令g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3在a∈[-1，1]，g（a）>0恒成立，即g（-1）>0，g（1）>0，

得-3-13

類似題：（1）對于滿足0≤a≤4的所有實數a，求使不等式x2+ax>3x+a-2都成立的x的取值范圍；

（2）已知不等式2x-1>m（x2-1）對任意的m∈[-2，2]都成立，求x的取值范圍.

四、等價為數形結合方法

【例4】 當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2<logax恒成立，求a的取值范圍.

分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，圖象是拋物線，右邊為常見的對數函數的圖象，故可以通過圖象求解.

類似題：（1）x∈R，|x|≥ax恒成立，求實數a的取值范圍；

（2）若關于x的不等式|x-1|+|x+2|≥a恒成立，試求a的取值范圍.

五、利用導數等價求函數在閉區間的最值

【例5】 f（x）=xx-3x，x1，x2∈[-2，2]，總有|f（x1）-f（x2）|≤c恒成立，求實數c的取值范圍.

分析：等價為求f（x）=x3-3x在x∈[-2，2]中的最大值和最小值，即|f（x1）-f（x2）|≤|f（xmax）-f（xmin）|.可見把問題變得簡單了，和教科書的例題差不多.

【例6】 已知兩個函數f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x.

（1）x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）恒成立，求c的取值范圍.

（2）x1∈[-3，3]，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求c的取值范圍.

（3）x1∈[-3，3]，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≥g（x2）恒成立，求c的取值范圍.

分析：

（1）對于任意性和存在性的問題通常是等價成函數的最值，構造函數h（x）=f（x）-g（x）=-2x2+3x2+12x-c，等價于求h（x）在x∈[-3，3]的最大值，只需h（x）max≤0.

（2）由x1，x2的任意性可知，等價于f（x）max≤g（x）min，即分別求f（x）和g（x）在x∈[-3，3]中的最大值和最小值.

（3）由x1的任意性和x2的存在性可得，等價于f（x）min≥g（x）min，即分別求f（x）和g（x）在x∈[-3，3]的最小值.

類似題：x1∈[-3，3]，x2∈[-3，3]，使得f（x1）≤g（x2）恒成立，求c的取值范圍.

那么這個問題又等價什么問題呢？

有關恒成立問題，其涉及知識面廣，交匯的知識點也很多，所以解題方法具有靈活多樣、技巧性強、難度大等特點，因此，恰到好處的等價方法會讓解題難度大大降低，達到事半功倍的效果.以上方法是比較常見的，在六大主干知識點中常有此類型考題出現，因此在總復習的各個階段都應經常滲透恒成立問題的等價方法，不斷積累、不斷總結、不斷創新，為高中數學恒成立問題的解決插上一副隱形的翅膀.

（責任編輯 金 鈴）