淺談“點差法”在求圓錐曲線范圍問題中的應用

圓錐曲線問題是高中數學的難點之一，圓錐曲線的弦的中點有關問題是常考查的內容.解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解，過程繁瑣，計算量大.“點差法”是由弦的兩端點坐標代入圓錐曲線的方程，得到兩個等式相減，可得一個與弦的斜率及中點相關的式子，再結合有關條件來求解.當題目涉及弦的中點、斜率，或借助曲線方程中變量的取值范圍求其他變量的范圍時，一般都可以用“點差法”來求解.這種方法對有關點的坐標設而不求，充分發揮整體思想在解題中的應用，起到簡化和優化解題過程的作用.

【例1】 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個頂點A的坐標為（0，-1），且右焦點到直線x-y+22=0的距離為3.

（1）求a、b的值；

（2）若存在斜率為k的直線l，使l與已知橢圓交于不同兩點M、N，且滿足|AM|=|AN|，求k的取值范圍.

解析：由于篇幅有限，常規解法不再贅述.下面使用點差法求解.

設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）.

當k≠0時，由|AM|=|AN|知：

x21+3y21=3；①

x22+3y22=3；②

x0=x1+x22；③

y0=y1+y22；④

y1-y2x1-x2=-x0y0+1=k；⑤

x20+3y20<3.⑥

由①-②得（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0.⑦

將③④代入⑦，得x03y0=-k；⑧

將⑧和⑤聯立得y0=12，x0=-32k，

將它們代入⑥得94k2+34<3.

解得k∈（-1，1）且k≠0.

當k=0時顯然成立.

故k∈（-1，1）.

【例2】 如圖2所示，某橢圓的焦點是F1（-4，0）、F2（4，0），過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列.

（1）求該橢圓方程；

（2）求弦AC中點的橫坐標；

（3）設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

解析：（1）由橢圓定義及條件得2a=|F1B|+|F2B|=10，∴a=5.又c=4，∴b2=a2-c2=9.故橢圓方程為x25+y29=1.

（2）由a=5，c=4知離心率e=ca=45，|F2A|=5-45x1，

|F2C|=5-45x2.依焦半徑公式：

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列，得5-45x1+5-45x2=2×95，解得x1+x2=8，

∴x1+x12=4.

故弦AC中點的橫坐標為4.

（3）由第（2）問可知弦AC中點的橫坐標，再由弦AC的垂直平分線方程，可表示出AC的方程，然后與橢圓方程聯立可將k用AC中點坐標表示，再由中點在y=kx+m上，可將m用弦AC中點的縱坐標表示，然后結合弦AC中點在線段BB′上這一條件，求出m的取值范圍.故設弦AC中點為P（4，y0），所以直線AC的方程為：y-y0=-1k（x-4）（x≠0）.

將上式代入橢圓方程得

（9k2+25）x2-50（ky0+4）x+25（ky0+4）2-25×9k2=0，

∴x1+x2=50（ky0+4）9k2+25=8，解得k=2536y0（當k=0時也成立），

∵點P（4，y0）在弦AC的垂直平分線上，∴y0=4k+m，∴m=y0-4k=y0-259y0=-169y0.

∵點P（4，y0）在線段BB′的內部，于是有-95

這道題表面上看與“點差法”沒多大聯系，第（2）問中既然出現了線段的垂直平分線，當然也就有了弦的中

點，“點差法”也就有了用武之地.下面使用點差法求解.

設弦AC中點為P（4，y0），由A（x1，y1）、C（x2，y2）知

x2125+y219=1；①

x2225+y229=1；②

x1+x22=4；③

y1+y22=y0；④

y1-y2x1-x2=1k；⑤

y0=4k+m；⑥

-95

由①-②得

（x1+x2）（x1-x2）25-

（y1+y2）（y1-y2）9=0，

將③④代入上式得：

y1-y2x1-x2=-

3625y2=-1k，

解得k=2536y0（y0≠0）.

又由-95

且y0≠0得-165

（注：當k=0時，AC中點為（4，0），此時y0=0）綜上，m∈（-165，165）.

圓錐曲線求參數取值范圍問題，常有兩種解題思路：

1.先求出直線的斜率的變化范圍，進而求參數的取值范圍.

2.借助曲線中變量的取值范圍求參數的取值范圍

在橢圓中，直線與橢圓如果有兩個交點，則等價于弦的中點在橢圓內部，換句話說，某點在圓錐曲線的內部，則被該點平分的弦一般存在.本題即根據AC的中點P在橢圓內部，求出y0的取值范圍，進一步求出m的范圍.由此可見，中點弦問題中判斷“中點”的位置非常重要，而“點差法”是解決此類問題當之無愧的“利劍”.

參考文獻

[1]邵麗云.高中數學疑難全解放入書架[M].南京：南京師范大學出版社，2006.

[2]曹兵.高中數學難題新題精講精練300例[M].上海：上海交通大學出版社，2008.

（責任編輯 金 鈴）