例析充分性和必要性思想在導數中的應用

充分性和必要性思想是一個很重要的數學思想，給數學解題提供了一個很好的手段和方法.在導數這一章節的教學中，涉及導數的幾何意義與函數的單調性、極值、最值等內容，它們都可以運用充分性和必要性思想進行命題的等價轉化，如果不善于分析和應用，如只考慮充分性，會導致所求結果范圍縮小；或只考慮必要性，就會導致所求結果放大.下面通過幾個例子，來說明充分性和必要性思想在導數中的誤用與妙用.

一、在導數幾何意義中的應用

【例1】 已知函數f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）.若函數y=f（x）的圖像上任意不同的兩點P、Q連線的斜率都小于2，求a的取值范圍.

錯解：對于任意割線PQ，總存在與它平行的切線，于是只要使得切線的斜率恒小于2，即f′（x）<2恒成立.∵f′（x）=-3x2+2ax，∴-3x2+2ax<2恒成立，即-3x2+2ax-2<0，Δ=（2a）2-24<0，得-6

錯解分析：上述解法錯誤地把割線的斜率與切線的斜率等價.根據拉格朗日定理：若函數f（x）在區間[x1，x2]上連續，在（x1，x2）內可導，必ξ∈（x1，x2），使f′（ξ）

=f（x1）-f（x2）x1-x2

.也就是說，對于任意的割線PQ，總存在切線的斜率等于割線的斜率；但反之不成立，即對所有的切線，不一定存在與它平行的割線.所以上面只考慮了割線PQ斜率小于2的充分條件，導致所求結果范圍縮小.（正確的解法詳見文[1]）.

二、在函數單調性中的應用

【例2】 已知函數f（x）=13x3-12（a+1）x2-4（a+5）x，

g（x）=5lnx+12ax2-x+5

，其中a∈R.

（1）若函數f（x）和g（x）有相同的極值點，求a的值；

（2）若存在兩個整數m，n，使得函數f（x），g（x）在區間（m，n）上都是減函數，求n的最大值，及n取得最大值時a的取值范圍.

正解：（1）略.（2）f′（x）=x2-（a+1）x-4（a+5）=（x+4）（x-a-5），∵f（x）

在（m，n）上是減函數，根據圖像得n≤a+5.

又g（x）在（m，n）上也是減函數，∴g′（n）≤0，即an2-n+5≤0，∴a≤n-5n2.

∴

a≥n-5，a≤n-5n2，

∴n-5≤n-5n2，∴1≤n≤5

.

檢驗：當n=5時，a=0，經檢驗不成立；

當n=4時，a≥-1，a≤-116

，又需g′（3）≤0，即a≤-29，∴-1≤a≤-29，經檢驗成立.

分析：上述解法先利用了函數f（x）、g（x）在區間（m，n）上是減函數的必要條件，即n≤a+5（根據圖像得到）與g′（n）≤0，得到1≤n≤5，使n的范圍有效地縮小.因為只研究了必要性，所以得到的結果范圍是放大的，再通過逐一檢驗，來驗證充分性，就能很好地解決了這一問題.

三、在函數極值中的應用

【例3】 已知函數f（x）=x3+ax2+（a2-6）x.

（1）若f（x）在x=-1處取到極值，求實數a的值；

（2）若f（x）在[-1，1]內有極值，求實數a的取值范圍.

錯解：（1）f′（x）=3x2+2ax+（a2-6），∴f′（-1）=3-2a+a2-6=0，∴a=3或a=-1

.

（2）若f（x）在[-1，1]內有極值，則f′（x）=0在[-1，1]內有解.

根據圖像法得Δ=4a2-4×3×（a2-6）≥0，-1≤-a3≤1，f′（-1）≥0，f′（1）≥0，

或f′（-1）·f′（1）≤0，

∴-3≤a≤-1或1≤a≤3.綜上，-3≤a≤-1或`1≤a≤3.

錯解分析：根據極值的定義，若f（x）在x=x0處取到極值，則f′（x0）=0；反過來，由f′（x0）=0，則不能推出f（x）在x=x0處取到極值，即f′（x0）=0是f（x）在x=x0處取到極值的必要不充分條件.如果只考慮必要性，則所求結果的范圍會放大.所以第（1）小題，經檢驗，當a=3時，f′（x）=3x2+6x+3=3（x-1）2≥0，不符合.第（2）小題，若f（x）在[-1，1]內有極值，則f′（x）=0在[-1，1]內有解，且無重根，這是等價的.所以可先求充分條件Δ=4a2-4×3×（a2-6）>0，-1<-a3<1，f′（-1）≥0，f′（1）≥0

或f′（-1）·f′（1）<0，并對f′（-1）=0與f′（1）=0處進行檢驗，來驗證必要性，正確答案為-3

四、在函數最值中的應用

【例4】 設a∈R，函數f（x）=ax3-3x2.

（1）若x=2是函數y=f（x）的極值點，求a的值；

（2）若函數g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，2]）在x=0處取得最大值，求a的取值范圍.

正解：（1）略；（2）f′（x）=3ax2-6x，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x，

當g（x）在[0，2]上的最大值為g（0）時，g（0）≥g（2），即0≥20a-24，

∴a≤65.

檢驗：當a≤65時，對任意x∈[0，2]，g（x）≤65x3-3x2+185x2-6x

=3x5（2x2+x-10）=3x5（2x+5）（x-2）≤0

.

而g（0）=0，故g（x）在[0，2]上的最大值為g（0）.

綜上，實數a的取值范圍為（-∞，65].

分析：已知函數f（x）在[a，b]內連續，若f（x）在x=a處取到最大值，則f（a）≥f（b）恒成立；反之，由f（a）≥f（b）恒成立不能推出f（x）在x=a處取到最大值，即f（a）≥f（b）是f（x）在x=a處取到最大值的必要不充分條件.上述解法先根據函數g（x）在x=0處取得最大值的必要條件，求出實數a的取值范圍，再來證明a≥65是函數g（x）在x=0處取得最大值的充分條件，靈活地利用了充分性和必要性，解題的思路比較獨特.當然該題還可用其他的方法，如用數形結合與分類的思想，對實數a進行討論，根據三次函數的圖像可求出實數a的取值范圍，或用g（x）≤g（0）對x∈[0，2]恒成立，求出實數a的取值范圍.

從以上幾個例子中，我們發現，為了解決某一個問題，需要進行等價的轉化，變成可以解決的問題，寫出其充要條件；而當等價轉化遇到困難時，也需要利用充分性和必要性思想，可先考慮充分性或先考慮必要性，逐步去突破難點，從而解決問題.在應用時，我們要注意充分性和必要性的數學邏輯與書寫的嚴密性，厘清其中的邏輯關系，避免不等價的錯誤，同時也可使解題的思路更加靈活多樣.

參考文獻

[1]孫四周.從割線斜率到切線斜率的不等價轉化及其邏輯解讀[J].數學通報，2011（6）.

（責任編輯 金 鈴）