從“量”的角度編制解析幾何問題

“問題”是數學的心臟，數學教學的核心就是提出問題與解決問題.在教學實踐中，本人從“量”的角度出發編制解析幾何問題，通過編題讓學生更好地理解解析幾何問題的本質以及掌握解決此類問題的思想方法.

一條直線是由兩個獨立的量決定的，如直線方程l：y=kx+t（k，t∈R），直線是由斜率k和軸上的截距t來決定的；兩個量確定了，直線就隨之確定了，只要有一個量不確定，直線l就在變動.

橢圓也是由兩個量決定的，如橢圓標準狀態下的方程C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），當a、b兩個量確定了，橢圓也就隨之確定了，只要有一個量不確定，橢圓C就在變動.

因此，在編制直線與橢圓的位置關系問題時，當k，t，a，b四個量都已知的情況下，直線與橢圓的位置關系也就確定了，即可命制問題1：已知k，t，a，b這四個量，判斷直線l與橢圓C的位置關系；逆向問題2：若已知直線l與橢圓C的位置關系，k，t，a，b這四個量中已知三個量，則可求出第四個量的取值范圍；問題3：若已知直線l與橢圓C的位置關系這一條件，但k，t，a，b這四個量中只已知二個量，則由位置關系這一條件可確定未知兩個量間的等式關系，從而可設問直線系過定點，或橢圓系過定點的問題.

根據量的相互確定的關系，我們不難編制出一串問題：

若直線l與橢圓C相交，不妨設兩交點為A，B；橢圓C的左右焦點分別為F1，F2.

（1）若已知直線的斜率k，橢圓方程中的a，b值，現要確定直線l中t的值，則必須給出一個已知條件，才能確定t的值.如給出滿足條件：OA⊥OB（O為坐標原點）；∠AOB為銳角（鈍角）時；△AOB的面積值；△AOB的重心恰好為橢圓的右焦點F2；弦|AB|的長；等等，求t的值；

（2）橢圓上是否存在兩點關于直線對稱，若有，求出t的取值范圍；

（3）直線與x軸的交點為P，求滿足|PA||PB|=2時t的值；

（4）是否存在t的值，使得△AMP與△BCN兩重心連線平行于x軸；

（5）是否存在t的值，使得△AMF1與△BNF2兩重心關于原點對稱；

（6）是否存在t的值，使得|AP|=|BQ|AB與PQ的中點重合；

（7）是否存在t的值，使得|CA||CB|=12；

（8）試分析|AF1||BF2|取值范圍的情況；

（9）引入AB的垂直平分線，再編寫問題；

（10）是否存在t的值，使得OA+OB

與MC共線？

（11）過點A作橢圓的切線交x、y軸于兩點G、H，連接GQ，是否存在t的值，使得GQ與橢圓相切？

……

通過編題的方式，讓學生進一步領會解析幾何問題的本質，以把握問題的核心思想、本源；領會已知“量”與未知“量”之間的相互制約關系，讓學生形成解決解析幾何問題的思想方法.從一定的高度來審視問題，能更好地從宏觀的角度審視問題，達到一目了然地得出問題的解決方法.

例如：如右圖，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的離心率為12

，其左焦點到點P（2，1）的距離為10.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求△ABP面積取最大值時直線l的方程.

現從“量”的角度來分析：第（1）問要求橢圓C的方程，即要確定橢圓方程中a，b這兩個量，兩個未知“量”就要有兩個已知“量”才能確定，因此，題目中一定給出兩個相關的已知“量”，從題目中不難找出那兩個已知“量”——“橢圓的離心率為12，其左焦點到點P（2，1）的距離為10.”解題時只要列出已知“量”與未知“量”的關系等式，用方程就可解決了；第（2）問要求直線l的方程，即要求出確定直線方程的兩個“量”——“斜率k和截距t的值”，從方程思想考慮，要給出兩個已知“量”，但問題中直線是在變動的，斜率k和截距t的值都在變動，不過在變動的過程中，由題中給出的條件：“不過原點O的直線l與橢圓C相交于兩點A，B，且線段AB被直線OP平分.”由此條件，我們不難得到直線的斜率k和截距t存在某個等式關系.因此，△ABP面積只與直線中的一個“變量”存在函數關系，即通過一變元的函數問題，求出△ABP面積的最大值，以及此時直線中“變量”的取值，最后確定出直線l的方程.

解析：

（1）由題得e=ca=12.①

左焦點（-c，0）到點P（2，1）的距離為d=（2+c）2+12=10.②

由①②可解得a2=4，b2=3，c2=1.

∴所求橢圓C的方程為x24+y23=1.

（2）易得直線OP的方程y=12x.設A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）.其中y0=12x0.

∵A，B在橢圓上，

∴x2A4+y2A3=1，

x2B4+y2B3=1

kAB=yA-yBxA-xB=-3xA+xB4yA+yB=-34·

2x02y0=-32

.

設直線AB的方程為l：y=-32x+m（m≠0），

代入橢圓方程x24+y23=1，

得3x2-3mx+m2-3=0

.

顯然Δ=（3m）2-4×3（m2-3）=3（12-m2）>0.

∴-23

由上又有xA+xB=m，yA+yB=m2-33.

∴|AB|=1+k2|xA-xB|=

1+kAB·

（xA+xB）2-4xAxB=1+k24-m23.

∵點P（2，1）到直線l的距離為d=|m-4|1+94，

∴S△ABP=12d|AB|=12|m-4|4-m23=36（4-m）·12-m2，

當且僅當m=1-7時，三角形的面積最大，此時直線l的方程為

y=-32x+1-7.

總之，通過運用“量”之間的關系審視問題，關注“問題”的產生、形成、變化、發展、構造的過程，能提升學生提出問題和解決問題的能力，也為我們教師提供了一種新式的教學方式——采用“命制試題”的程序方式組織教學.

（責任編輯 金 鈴）