從勾股定理應用課談數學思想方法的滲透
2012-12-31 00:00:00張倩
中學教學參考·理科版 2012年11期
現代教學觀認為，教學過程中應著重發展學生的思維能力，提高他們的思維品質，必須讓學生了解數學知識形成的過程，明確其產生的內外驅動力，在概念的確立，教學事實的發現，理論的推導，數學知識的運用中，數學思想方法是學習的靈魂.本文結合“勾股定理”的教學談談數學思想方法在課堂中的滲透.
【案例1】
師：（放幻燈片，逐一顯示下面圖形）.圖1中的x等于多少？
生：2.
師：圖2中的x，y，z分別是多少？
生：x，y，z分別是2，3，2.
師：如果沿著圖2繼續畫直角三角形，還能得到哪
些無理數？
生：還能得到5，6，7……
師：利用圖2你們能在數軸上畫出表示5的點嗎？
生：能！（讓一名學生利用圖2畫出5）
師：怎樣在數軸上畫出表示-5的點？
生：以原點為圓心，以長為半徑畫弧交負半軸于一點，這點就表示-5.
師：在數軸上表示6，7，-6，-7的點怎樣畫出？
……
這個案例運用了數形結合的思想，用直角三角形三邊的長度來研究直角三角形的邊的性質，用作一個滿足一定條件的直角三角形來構造一個帶有根號的無理數，充分地體現了數形結合思想的應用.
數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.
【案例2】
如圖3，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3.
（1）如圖4，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關系？（不必證明）
（2）如圖5，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個等邊三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關系并加以證明.
解：設直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a，b，c，則a2+b2=c2，
（1）S1=S2+S3.
（2）S1=S2+S3.證明如下：
顯然，S1=34c2，
S2=34a2，
S3=34b2，
S2+S3=34a2+34b2=34（a2+b2）=34c2，
S1=34c2.
本題從特殊到一般，從已知到未知，類比勾股定理的探究過程，其關鍵就在于理解勾股定理.當然，學習了相似三角形的知識后，還可以繼續探究：分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，上述結論是否還成立呢？
波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.”類比思想是數學學習的重要發現式思維，它是一種學習方法，同時也是一種非常重要的創造性思維.
【案例3】
師：在我們的生活中有一些有趣的問題：有一個邊長為10尺的正方形水池，一棵蘆葦AB生長在它中央，高出水面部分BC為1尺.如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部B恰好碰到岸邊B′（如圖6）.
問水深和蘆葦長各是多少？
這個案例運用了轉化和方程思想，題目本身是一個實際問題，要求出水深和蘆葦的長是多少.怎樣把水深和蘆葦的長的計算這個實際問題轉化為數學中的直角三角形問題來解決，學生是有困難的.教師在教學時注意引導學生用轉化的數學思想，可通過設未知數轉化為已知兩條直角邊求斜邊的方程問題來解答.
有些幾何問題表面上看起來與代數問題無關，但是要利用代數方法——列方程來解決，因此要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識.本案例中設蘆葦長為x，AC的長就是蘆葦的長減去高出水面的部分，還有一個隱含的已知條件——邊長為10尺的正方形水池，一棵蘆葦AB生長在它中央，所以BB′就是邊長的一半，這樣就可以利用勾股定理來解題了.
【案例4】
在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖7）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4= .
分析：本題不可能求出S1、S2、S3、S4的值，但我們可以利用三角形全等和勾股定理分別求出S1+S2、S2+S3、S3+S4的值.
解：易證Rt△ABC≌Rt△CDE，∴AB=CD，
CD2+DE2=CE2，AB2=S3，CE2=3，DE2=S4，
∴S3+S4=3.
同理可得S1+S2=1，S2+S3=2，
S1+S2+S2+S3+S3+S4=6，
（S1+S2+S3+S4）+（S2+S3）=6，
∴S1+S2+S3+S4=4.
這個案例運用了整體思想，就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理.利用整體思想，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養學生的創造性思維能力.
數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁.類型化、機械化的練習只會阻礙學生的數學思維的發展，只有滲透數學思想方法，才能使學生正確地進行數學思考.
教學有三重境界：一是教知識；二是教方法；三是教思想.我們在平時的教學中應該及時地對數學思想方法進行挖掘、提煉、歸納和概括，這將有利于學生領悟數學的真諦，學會用數學的方法思考問題.
（責任編輯 金 鈴）
