立足教材，培養轉化思想

轉化思想的核心體現為：將新的轉化為舊的；將復雜的轉化為簡單的；將抽象的轉化為具體的；將未知轉化為已知等過程.那么在平常的學習活動中，如何有效地去培養和訓練轉化意識呢？筆者認為，要重視課本使用，將問題回歸到數學教材中去.教材是學生學習數學的主要教材，但是在實際的教學過程中，課外教輔資料的過度使用，不僅加重了學生的學習負擔，而且學生學習過程舍近求遠，本末倒置，效率低下.只有對教材充分理解，才能更好地鞏固好雙基，避免出現概念不清、思維僵化、無從入手、方法不當等問題.因此，只有立足教材，才能追本溯源，才能聯系基礎知識對數學問題實施自然而又合理的轉化.

一、將復雜結構向簡單結構轉化，探索問題本質

【例1】（2011年全國高中數學聯賽一試（A卷）第2題）函數f（x）=x2+1x-1的值域為.

分析：本題要求函數y=f（x）的值域，從函數表達式的結構上看，如果分母能轉化成x的話，只要對x分正負討論即可，即思考函數y=f（x）與y=f（x+1）的值域關系問題，本質上，由函數的圖像和性質可知，如果函數y=f（x）沿著x軸方向左右平移的話，函數的定義域發生變化，但是值域始終是保持不變，此題即被轉化為去求函數g（x）=（x-1）2+1x的值域問題.

首先，函數y=g（x）的定義域為{x|x≠0}.所以，當x>0時，y=1+2x+2x2=21x+122+12>1；

當x<0時，y=-1+2x+2x2=-21x+122+12≤-22；則函數y=f（x）的值域為-∞，-22∪（1，+∞）.

二、將抽象問題向具體問題轉化，培養數學思維

【例2】若定義在R上的函數對任意的x1，x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2成立，且當x>0時，f（x）>-2.

（1）求證：f（x）+2是奇函數；

（2）求證：f（x）在R上是增函數；

（3）若f（1）=-1，f（log2m）<2，求m的取值范圍.

分析：（1）由教材可知，要證明一個函數g（x）的奇偶性，只要說明對定義域內任意的x，都有g（x）=g（-x）或g（x）=-g（-x）；亦等價于g（x）-g（-x）=0或g（x）+g（-x）=0.

首先，函數f（x）的定義域為R，即對任意x的都存在-x使得f（x）有意義.那么將f（x）+2看成一個整體，令g（x）=f（x）+2，則由g（-x）=f（-x）+2得到，g（x）+g（-x）=f（x）+2+f（-x）+2=f（0）+2；下去求f（0）：若x1=x2=0，則有f（0）=2f（0）+2，可知f（0）+2=0，即有g（x）+g（-x）=0，可知f（x）+2為R上的奇函數.

為了說明其為奇函數，還要證明它不是偶函數，否則它就是既奇又偶函數.同理，若x1=-x，x2=x，則有：g（x）-g（-x）=f（x）-f（-x）=f（2x）+2，由條件可知g（x）-g（-x）不恒為0；所以f（x）+2，是奇函數.

（2）由教材可知，要證明函數的單調性，首先只要假設對定義域內的任意的x1，x2，若x1

由題意知：f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）+2，又當x2-x1>0時，f（x2-x1）>-2，所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），由此可知f（x）在R上是增函數.

（3）已知f（x）在R上是增函數，解不等式f（log2m）<2，則可以考慮將問題轉化為逆用函數單調性的定義，去判斷自變量的大小；那么下面只要將2看成某個自變量a的函數值f（a）的形式.由f（0）=-2，f（1）=-1，可知f（2）=f（1）+f（1）+2=0；f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）+2=2；那么由f（log2m）

三、將未知結論向已知條件轉化，提升數學能力

【例3】設a，b均為大于1的自然數，函數f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在實數m，使得f（m）=g（m），則a+b=.

分析：由條件m∈R，由f（m）=g（m）代入得到a（b+sinm）=b+cosm；又a，b均為大于1的自然數，將角m的正弦、余弦整理到等式的右邊得到：b（a-1）=cosm-asinm=a2+1cos（m+φ），得b≤a2+1a-1；由例2可知：當自然數a≥2時，有f（a）=a2+1a-1∈（1，5），所以1

又當b=2時，有2≤a2+1a-1，即：3a2-8a+3≤0，不難發現只有當a=2時，此不等式成立；

綜上，a+b=4.

（責任編輯黃桂堅）