魔方游戲中所蘊含的數學“基本能力”

魔方是匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授在1974年發明的.當時的魔方是指三階魔方，也即魔方每條棱上包含三個小方塊.魔方的表面由六個中心塊，八個角塊，十二個棱塊組成.

在各地高考數學說明（或考試大綱）中都提到了以下五大基本能力：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和數據處理能力.既然從一開始魔方游戲的流行就和數學有著密切的關系，那么我們對于魔方復原的了解與練習是否有助于數學基本能力的培養？現就這些數學基本能力，結合魔方的特性及其基本復原方法進行探析.

一、空間想象能力

當初魯比克教授發明魔方的初衷，僅僅是把它作為一種幫助學生增強空間思維能力的教學工具.在學習立體幾何部分內容時，要能夠根據已知條件在頭腦中構建出相應的幾何圖形，把抽象的語言條件直觀化、圖形化.魔方是一個典型的空間幾何體的模型，通常對魔方進行復原首先需要相對固定中心塊的位置，再將各棱塊、角塊復原到固定的位置.在魔方復原的過程中，某些塊面不能完全被看到時，只能通過反復的空間想象，并對空間圖形進行分解與組合.這就要求操作者，不僅要認識空間幾何圖形，還要能夠對具體的圖形進行解剖.另一方面，在學習魔方的初始階段需要從平面直觀圖中學習有關的魔方“公式”，這就要求學生具有化抽象為具體的能力，把平面直觀圖與空間幾何體進行反復的比較，能夠根據平面直觀圖想象出空間圖形，能夠站在空間的角度研究點、線、面.

二、抽象概括能力

抽象概括能力要求我們能夠對實例進行探索，發現研究對象的本質，并用于解決問題或作出新的判斷.抽象概括能力可以歸納為兩點：一是發現本質；二是作出判斷.

別看魔方只有26個小方塊，可是魔方總的變化數約為4.3×1019種之多.人們在研究魔方的時候，從不同角度，總結出多種復原方法.每種復原方法都有一定的公式，都需要遵循一定的原則.“盲解”在復原的過程中需要復原者在蒙上眼睛的狀態下完成魔方的復原，在“盲解”的過程中操作者會首先將每一個棱塊、角塊標號，通過數字的記憶和處理完成復原.它操作的步驟是：1.首先將每一棱塊、角塊的方向撥到正確的方向；2.將每一個棱塊、角塊撥到正確的位置.

復原魔方的過程就好像我們解題的過程一樣，需要熟練地運用一定的公式，遵循一定的基本原則去操作.這實際上也是我們在魔方所有的變化中不斷抽象其本質的過程，不斷進行抽象概括的過程，并進行判斷的過程.事實上，雖然魔方總的變化數有4.3×1019之多，但就“盲解”來說，復原魔方的本質只是遵循一定的原則，將每一個棱塊、角塊按方向和位置進行歸位而已.

三、推理論證能力

推理論證能力要求學生能夠根據已知的事實和已經獲得的正確的數學命題，運用歸納、類比和演繹方法進行推理，論證某一數學命題的真假性.

最早的三階魔方于1970年被發明，而魯比克在發明三階魔方后不久重新開發了二階魔方，以及高于三階的魔方.迄今為止，高于七階的魔方已經被發明出來.對于魔方的學習一般首先是從三階魔方開始的.在學習三階魔方的過程中會接觸到相關的公式，并且了解到在復原中應遵循的原則.事實上，其他各階魔方都可以看成是三階魔方的推廣.在三階魔方里運用的公式在其他各階魔方復原的過程中都可能會用到，通過對于三階魔方公式的推廣和修改就可以完成對于其他各階魔方的復原.其他各階魔方的復原都在是三階魔方復原方法的基礎上得到的，這就需要操作者在嘗試復原其他各階魔方的過程中不斷進行推理論證，通過實踐在新的環境下論證“公式”的有效性.這里面需要用到的數學思想方法有歸納、類比和演繹推理，并且不斷地對“公式”進行判斷，進行修正.

四、運算求解能力

運算求解能力的要求是能根據法則、公式進行運算及變形，能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算.運算求解能力提出了三點要求：一是會運算、變形；二是能設計合理的運算途徑；三是數據估計與近似.

運算途徑的選擇已成為近幾年高考的另一熱點，這就是經常提到的一題多解，高考數學試卷中的一些試題都可以通過多種方法解決，但在這些方法中有一種或是兩種是最優的，能夠快速準確地解決問題，而其他的方法雖然也能夠解決問題，但運算量可能偏大，過程偏繁.這就需要考生能夠設計出合理的運算途徑解決.

復原魔方對于運算能力的幫助和提高，是主要體現在短時間內，在眾多的運算方案中設計出最合理的運算途徑上的.“三階速擰”和三階魔方的“盲擰”比賽的勝負判斷的依據是完成復原時間的長短.因此在復原的過程中要不斷地提高運算速度，尋找出“最優解”.當然任意組合的魔方都有一個“最優解”.也即，如果至多進行N次轉動便可以將任意魔方復原，這個N具體為多少？這最后在Google提供的計算資源支持下，最終證明N為20.也就是說，對任意魔方，我們最多用20次即可還原.

（責任編輯黃桂堅）