股指期貨與現貨指數收益率序列相關性研究

關鍵詞： 滬深300指數；股指期貨；收益率；相關關系；Copula函數

摘 要： 滬深300股指期貨推出后，其與滬深300指數的關系就引起投資者和研究者的關注。以滬深300指數和滬深300股指期貨的日收益率數據為基礎，運用Copula函數建立CopulaGARCH(1，1)GED模型對兩者進行相關性分析，結果表明：滬深300指數與股指期貨收益率序列之間相關程度非常高，而通過比較秩相關系數的擬合情況，二元正態Copula函數更接近實際情況；在平方歐式距離的標準下，二元tCopula模型能夠更好地描述滬深300指數與滬深300股指期貨日收益率序列的相關結構；兩序列的尾部相關程度非常高，表明當股票市場大幅度波動時，滬深300指數與滬深300股指期貨的相關程度顯著提高。

中圖分類號： F830.9

文獻標志碼： A 文章編號： 1009－4474(2012)05－0014－06

一、 前言 2010年4月16日，我國正式推出以滬深300指數為標的的滬深300股指期貨，這標志著我國在金融創新方面又邁出了堅實的一步，給證券市場帶來了新的活力。而股指期貨與滬深300指數之間的相關關系，很快就成為投資者和研究者關注的重點和熱點。相關性分析是多變量分析中的一個重要課題。根據相關理論，多個金融序列之間的相關關系是多變且非常復雜的，高維情況下的相關性分析更是如此。因而，對于多個變量之間的相關研究很難做出全面的分析，早期的多變量相關關系的研究就都存在著一定的局限性且都不完整〔1〕。而Copula函數的提出，為多變量相關關系研究提供了一種新的、更加穩健的、靈活的分析方法，因為Copula函數能夠將多個變量各自單獨的邊緣分布函數與它們共同的聯合分布函數有機地聯系在一起。

國內已有一些學者運用Copula函數進行多變量的相關性研究。如史道濟、姚慶祝運用Copula函數對變量之間的Kendall秩相關系數、Spearman秩相關系數和尾部相關系數這三個主要相關關系指標進行了推導〔2〕。韋艷華、張世英在對上海股票市場中各個板塊指數的收益率序列的不同邊緣分布模型比較的基礎上，建立了CopulaGARCHt模型，并對不同板塊之間的條件相關關系進行實證研究，實證結果表明，不同板塊指數的收益率序列應建立不同的邊緣分布模型，且結合Copula函數，各板塊之間有較強的正向相關關系〔3～4〕。李秀敏、史道濟構造CopulaGARCHGPD模型研究了深圳、上海兩股票市場的相關模式，實證結果顯示ClaytonGARCHGPD模型能夠更好反映兩市場的相關模式，在較高置信水平下，Copula模型得到的結果更為安全〔5〕。魏平、劉海生在AR(4)GARCH(1，1)T邊緣分布模型的基礎上結合Copula函數，發現tCopula能夠更好地刻畫滬深股市的相關性〔6〕。劉瓊芳、張宗益、運用地產與金融行業的股票收益率數據，引入Copula方法定量研究了兩個行業股票之間的相關關系〔7〕。

以上研究文獻說明，Copula函數能較好地用于描述多個金融序列之間的相關關系。鑒于國內外還沒有文獻對股指期貨與現貨指數收益率序列之間的相關關系及相關結構進行研究，本文即運用Copula函數構建CopulaGARCHGED模型來研究兩者的相關關系。

二、基于Copula理論的相關系數 對兩個變量之間的相關性進行研究時，最廣泛使用的方法就是檢驗變量之間的變化趨勢是否相同。如果隨機變量（X，Y）有兩個觀測值（x1，y1）和（x2，y2），如兩個觀測值變化的方向是一致的，則(x1-x2)(y1-y2)>0；若觀測值是不一致的，則(x1-x2)(y1-y2)<0。

西南交通大學學報（社會科學版） 第13卷第5期

萬云波 股指期貨與現貨指數收益率序列相關性研究1.Kendall秩相關系數τ

Hollander and Wolfe給出了Kendall秩相關系數的定義，文獻〔8〕令隨機變量（x1，y1），（x2，y2）為獨立同分布的隨機向量，則

τ=P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-P［（x1-x2）（y1-y2）<0］，

τ是Kendalls τ系數。可以證明，

τ=2P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-1。

引入Copula函數，假設隨機變量（X，Y）的邊緣分布函數的表達式分別為F(x)、G（y），相對應的Copula函數表示為C(U，V)，其中u=F(x)，v=G(y)，u，v∈［0，1］，則Kendall秩相關系數τ可以由Copula函數表示為，

τ=41010C(u，v)dC(u，v)-1。

2.Spearman秩相關系數ρ

另一類基于一致性的變量相關性測度的指標為Spearman秩相關系數ρs，Lehmann在文獻〔10〕中定義了Spearman秩相關系數ρs〔9〕。令（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為獨立同分布的隨機向量，則

ρ=3{P［（x1-x2）（y1-y3）>0］-P［（x1-x2）（y1-y3）<0］}。

引入Copula函數，假設隨機變量（X，Y）的邊緣分布函數的表達式分別為F(x)、G（y），相對應它們的Copula函數表示為C(U，V)，其中u=F(x)，v=G(y)，u，v∈［0，1］，則Spearman秩相關系數ρs可以由Copula函數C(u，v)給出，

ρ=121010uvdC(u，v)-3=121010C(u，v)duv-3。

3.尾部相關系數τ

對金融資產風險的分析，投資者更關心的是金融資產的尾部相關關系，即當一個金融資產價格波動取值較大或者取值較小時，它對另一個金融資產的價格的影響如何。尾部相關關系包括上尾的相關關系和下尾的相關關系，當連續隨機向量（X，Y）的邊緣分布分別為F(x)和G(y)，則

λ上尾=limu→1-P［Y>G-1(u)|X>F-1(u)］，

λ下尾=limu→0+P［Y 同理，得到相對應的Copula函數表達式為，

λ上尾=limu*→1P［Y>G-1(u*)|X>F-1(u*)］=

limu*→1C＾(1-u*，1-u*)1-u*，

λ下尾=limu*→0P［Y limu*→0C＾(u*，u*)u*。 三、實證分析 （一）數據選擇及描述性統計

本文實證數據選取滬深300指數的日收益率數據和以滬深300指數為標的的滬深300股指期貨當月連續日收盤數據（以下簡稱股指期貨）為研究對象，研究期間為2010年4月16日至2011年10月21日，共計368個交易日。

用Pt表示第t日的收盤價，用γt=100×(InPt-InPt-1)表示第t日的對數收益率。因為股指期貨當月數據在最后3個交易日交易量急劇萎縮，而下個月的期貨交易量則迅速放大，當月期貨數據不再具有代表性，為了保證股指期貨數據的連續性，股指期貨當月最后3個交易日的數據用下月連續的數據代替（描述性分析結果如圖1和表1所示）。

從圖1可以發現，股指期貨和現貨指數的日收益率主要分布在-2%～2%的區間內，而且具有厚尾的特征。

由表1可知，滬深300指數與股指期貨的收益率均值都比較小；標準差比較大，峰度都大于4，表明滬深300指數與股指期貨都具有“尖峰厚尾”特征；通過JB統計量假設檢驗，兩市的股票收益率均不服從正態分布；對收益率序列做平穩性ADF檢驗，滬深300指數與股指期貨的收益率序列的ADF統計量分別為-1811和-1887，表明都是平穩時間序列。

（二）邊緣分布模型及Copula模型構建

根據兩序列的以上統計特征，作者選擇能夠很好描述金融時間序列偏斜、波動集群、尖峰、厚尾特性的GARCH簇模型來描述兩序列的邊緣分布模型，分別運用GARCH、GARCHt、GARCHGED擬合樣本數據；而根據樣本的顯著性、AIC、SC準則以及對數似然值進行模型比較，發現GARCH(1，1)GED能夠更好地擬合樣本數據。因此，本文對滬深300指數及股指期貨建立GARCH(1，1)GED模型，其參數如表2所示。

*表示5%水平下顯著，**表示在10%水平顯著，括號內為均值。

KS統計量及其概率值是根據估計得到的條件邊緣分布，對原序列做概率積分變換，再運用KS檢驗方法，檢驗變換后的序列是否服從（0，1）均勻分布。表2中的KS統計量表明變換后的序列服從（0，1）均勻分布，因此可以建立CopulaGARCH（1，1）GED模型，模型的表達式為，

st=μst+εst f1=μft+εft

εst=h1/2stζst εft=h1/2ftζst

hst=ωs+αsε2s，t-1+βshs，t-1 hft=ωf+αfε2f，t-1+βfhf，t-1

(ζst，ζft)～Cζt［Φ(ζst)，Φ(ζft)］。

其中Cζt(·，·)，為任意的二元Copula函數，Φ（·）為（0，1）均勻分布。

（三）Copula模型及參數估計

1.橢圓Copula函數

橢圓Copula函數來源于橢圓分布函數，因此它秉承了橢圓分布函數的優良性質，是研究金融資產相依結構的基本模型，其中正態Copula函數和tCopula函數是橢圓Copula函數的典型代表。

在GARCH(1，1)邊緣分布模型的基礎上，進一步求得二元正態Copula函數中的線性相關參數ρ＾的估計值為ρ＾norm=095，得到二元正態Copula分布函數的表達式為，

C＾Ga=φ-1(u＾)-∞φ-1(v＾)-∞12π1-0.952×

exp［-s2-2×095st+t22×(1-0952)］dsdf。

基于二元正態Copula函數得到的Kendall秩相關系數τnorm=07979，Spearman秩相關系數ρnorm=09454。根據計算得到的二元正態Copula函數線性相關系數ρ＾norm和二元tCopula中的線性相關參數ρ＾t以及自由度k＾，可以畫出滬深300指數與股指期貨之間二元正態和二元tCopula的概率密度函數圖（見圖2）。

二元tCopula中的線性相關參數ρ＾和自由度k的估計值分別為：ρ＾t=09531，k＾=59，得到二元tCopula分布函數的表達式為，

C＾t=59-1(u＾)-∞59-1(v＾)-∞12π1-016012×

exp［1+s2-2×09531st+t221×(1-095312)］-(59+2)/2dsdf。

基于二元tCopula函數得到的Kendall秩相關系數τt=08043，Spearman秩相關系數ρt=09487。

根據滬深300指數及股指期貨的日收益觀測數據得到的Kendall秩相關系數和Spearman秩相關系數分別τe=07769、ρe=09244，將Kendall、Spearman秩相關系數進行比較，基于二元正態Copula函數和二元tCopula函數得到的Kendall、Spearman秩相關系數明顯優于基于原始數據得到的Kendall、Spearman秩相關系數，其中二元正態Copula函數計算出的秩相關系數更接近實際情況，說明二元正態Copula函數更好地反映了滬深300指數與股指期貨日收益之間的秩相關關系。

通過經驗Copula函數，可以得到二元正態Copula函數C＾Ga(u，v)和二元tCopula函數C＾t(u，v)與經驗Copula函數C＾n(u，v)的平方歐式距離(歐氏距離Euclidean distance也稱歐幾里德距離，它是一個通常采用的距離定義，是在m維空間中兩個點之間的真實距離)，

d2Gd=∑n1C＾n(ui，vi)-C＾Ga(ui，vi)2=00171，

d2t=∑n1C＾n(ui，vi)-C＾t(ui，vi)2=00166。

在平方歐式距離的標準下，可以認為二元tCopula函數能夠更好地擬合滬深300指數和股指期貨日收益的觀測數據。

圖2 二元正態和二元tCopula概率密度函數分布從圖2來看，相比二元正態Copula函數，二元tCopula函數具有更厚的尾部，因此在尾部相關關系的刻畫上要強于二元正態Copula函數，由二元tCopula函數計算得到的尾部相關系數為，

λ上尾=λ下尾=2-2tk+1k+11-ρt1+ρt=0633。

其中，k和ρt分別為二元tCopula函數的自由度和線性相關參數。

2.阿基米德Copula

Clayton、Gumble和Frank Copula函數是三類常用的二元阿基米德Copula函數，下文運用這三個函數分析滬深300指數與股指期貨之間的關系，參數估計結果如表3所示。

概率密度函數分布從參數估計結果以及概率密度函數圖可以發現，Claton、Gumbel Copula函數具有非對稱性，能夠分別描述序列間上尾和下尾的相關關系，而且尾部比較陡峭且敏感性較強；計算結果顯示Claton Copula上尾相關系數0882，Gumbel Copula下尾相關系數為0841，對單一尾部相關關系的刻畫要強于tCopula函數的計算結果0633；滬深300指數與滬深300股指期貨的尾部相關程度從圖3中看來都很陡峭且估計值也比較大，說明當股票市場大幅度波動時，兩者間的相關程度顯著提高。

四、結論 本文運用Copula函數建立CopulaGARCH(1，1)GED模型研究了滬深300指數日收益率序列與滬深300股指期貨日收益率序列之間的相關關系。

通過原始數據可以計算出滬深300指數與股指期貨日收益序列之間的線性相關系數為：rp=09451，這說明滬深300指數與股指期貨的日收益率序列的相關程度非常高；從秩相關系數角度，二元正態Copula函數的Kendall秩相關系數τnorm=07979，Spearman秩相關系數ρnorm=09454，相比二元tCopula函數，二元正態Copula函數計算出的秩相關系數更接近實際情況，說明了二元正態Copula函數更好地反映了滬深300指數與股指期貨日收益之間的秩相關關系，且兩收益率序列之間的變化趨勢是基本一致的。

從尾部相關的角度，由二元tCopula函數計算得到的尾部相關系數為：λ上尾=λ下尾=0633；Claton Copula和Gumbel Copula函數具有非對稱性，分別能夠描述序列間上尾和下尾的相關關系，計算結果Claton Copula上尾相關系數為0882，Gumbel Copula下尾相關系數為0841，對單一尾部相關關系的刻畫要強于二元tCopula函數的計算結果0633；而當股票市場大幅度波動時，滬深300指數與滬深300股指期貨的相關程度會顯著提高。

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（責任編輯：葉光雄）