合理運用表象 深度理解算理

　　小學生對計算的學習主要包括了“理解算理、形成算法、掌握技能”，其中理解算理是非常重要的。這也正是學生計算學習的難點所在，也是計算價值的本源追求。因此，教師在教學時，在對學生算理的理解上要舍得花時間，多為學生算理的理解提供素材、設計活動，進而構建豐富的數學表象，讓大部分學生在第一次的算理感悟中達到直觀理解的水平。
　　下面筆者結合教學實踐，來談談教師應如何合理運用數學表象，促進學生對算理的深度理解。
　　一、 巧用結構性的情境表象，促進算理的直觀理解
　　新課程的計算學習大部分是由生活情境引入的，改變了過去計算教學中單純地進行四則運算教學、“會算就是硬道理”的單一價值追求。有了情境的導入，學生計算學習的興趣更濃了，計算學習的價值取向更多元了，更有利于學生的后續發展。而教師巧用結構性的情境表象，可以有效促進學生對算理的直觀理解。
　　比如，人教版三年級上冊“筆算乘法”學習情境：下左圖是一幅常規生活情境，不具有明顯的數學知識結構。我們從學生學習的需要出發，改編了教材中的純生活情境，利用促銷活動的現實背景，創設一幅具有明顯數學結構的表象情境（見下右圖）。
　　鋼筆促銷活動：
　　買一盒送2支，我買了3盒共有多少支？
　　這組具有很強結構性表象的情境，展現的是乘法運算第一次擴展的算理核心結構（即用幾個十、幾個一分別去乘一個數，然后求兩積之和），也是學生生活原型的數學化表征。它的作用不僅僅是直觀的、學生感興趣的，而且在情境中蘊含了學生需要的核心思維策略，能突顯算理的本質、自覺喚起學生把新知轉化為舊知的欲望：“兩位數乘一位數”轉化成“整十數乘一位數、一位數乘一位數，然后求兩積之和”。
　　同樣，北師大版教材（圖1）、09版浙教版教材（圖2）、蘇教版教材（圖3）對于這一乘法運算的第一次擴展也設計了這樣一組具有很強結構性的情境素材。
　　這一組情境的共性就是突顯學生思維障礙中的核心結構：從策略上指引學生用數的組成去分拆兩位數，從算理上為三年級學生理解“用幾個十、幾個一分別去乘一位數”提供了生活經驗，讓學生確信這樣去思考是對的，結構性的情境表象為學生提供了很好的策略與列舉素材。
　　學生可以借助結構性的情境表象，順利遷移到口算策略，當他們真正理解了可以分別乘的算理以后，就知道了把口算過程轉化為兩層豎式，思維過程非常清楚。
　　同時，當學生建立了比較清晰的結構性數學表象后，教師不應過快地把豎式進行簡寫，而應延長學生對算理的理解時長。從整單元的算理上構建高度，去審視三上筆算乘法的第一課時教學內容的選擇，讓學生運用心中積淀的結構表象從口算和多層豎式兩個角度進行正遷移。在筆者的教學實踐中也表明，當學生借助結構性的情境建立清晰的數學表象以后，具有很強的遷移能力，知識的穩固性得到了加強，突顯了學生對算理的直觀理解。
　　巧用結構性的情境素材，就是幫助學生在生活經驗、現實情境、已有知識與抽象算理之間搭建橋梁，構建有效通道，建立數學直觀表象的過程。在情境中挖掘出數學的結構性元素，運用結構的穩固性與直觀性特點，把抽象的算理直觀化，把陌生的算法穩固化，以促進算理的直觀理解。
　　二、 妙用直觀學具的操作表象，促進算理的深度理解
　　在計算教學中，教師對學生算法的掌握、技能的熟練程度是一刻也不會放松。而對于學生對算理的理解，教師則苦于沒有找到一種比較直觀的表征方式與處理策略，為算法與算理的溝通找到一個形象而又具有結構支撐的表征策略。
　　比如，在人教版三上“口算乘法”、三下“口算除法”的教學中，學生都會做“遮住0、然后添上0”的算法，但為什么可以這樣算、依據是什么，學生卻很難理解，更別說建立表象支撐。為了促進學生深度理解算理，筆者采用了直觀學具的操作活動——在計數器上撥（畫）珠子，讓學生在直觀的計數器上理解算理、思辨算法的合理性。
　　例如，人教版三下“口算除法”教學片段：
　　（1）學生通過情境問題的解決，能比較快地算出“形如80÷2、800÷2、8000÷2的算式”的得數；學生的算法都是“遮住80、800、8000后面的0，先算8÷2=4，然后在4的后面添上相應的0”。
　　（2）引導學生說算理，為什么可以這樣算？
　　（學生說不清，重復他的算法與動作。60%的學生停留在這個水平）
　　（3）畫計數器直觀表征。
　　教師在黑板上畫一個簡單的計數器，如右圖：
　　① 你能在計數器上表示80嗎？（學生在十位上擺8個磁鐵石代替珠子）
　　② 80÷2就是把這些珠子平均分成2份，每份是多少？在計數器上如何表示？（學生移動磁鐵石）
　　（4）質疑交流、突顯思維的深度。
　　①從計數器上，你看到了“把幾個珠子，平均分成2份，每份幾個珠子”？
　　②為什么4后面要添一個0（因為這里的4是十位上的4，表示4個１０）。
　　③看圖思考，這里的8個珠子是表示8個什么？其實就是把8個１０平均分成兩份得到4個１０。
　　（5）你能在計數器上，畫出800÷2、8000÷2的口算過程，并說一說嗎？
　　……
　　經過反復比較，筆者選擇了計數器作為理解“8÷2=4，再添0”的直觀表征工具。因為計數器從一年級開始就伴隨著孩子的學習，他們也最容易與算理中的位值進行溝通。在確定用計數器作為直觀表征工具后，筆者又對用“實物計數器演示”與“畫計數器演示”作了反復比較，最后還是決定直接在黑板上畫一個計數器來表征，這樣最利于教學的展開與學生的說理。通過三次質疑：第①次質疑，幫助學生溝通8÷2=4存在的現實背景；第②次質疑，完善對添0的深度理解；第③次質疑，深度理解8個１０平均分成兩份得到4個１０。從實踐效果來看，用畫計數器作為表征工具更有價值、更直觀、更適合、更利于促進學生對算理的深度理解。
　　一個小小的計數器，一個直觀的表征，不僅將算法與算理聯系起來，給學生一個形象的結構支撐，而且突顯了思維的深度與靈動性，讓學生把算法、抽象的算理、直觀的表征、深度的思維四者聯系在一起。
　　直觀學具的操作活動，是傳統數學學習的常規手段，而隨著新課程的推進與多媒體課件的引入，這項常規的手段漸漸淡出了課堂，取而代之的是動畫與多媒體。在數學算理的教學過程中，直觀學具的運用得當，其效果往往比課件更好。比如小棒、人民幣、結構性的圖式、計數器、一張紙、一個小框架、幾個小圓片等身邊的直觀學具，只要恰當運用，同樣可以為學生的算理理解與算法溝通搭建一座橋梁，建立直觀表象，使學生不但知道可以這樣算，還知道為什么可以這樣算，促進了算理的深度理解。
　　三、 活用數形結合的形體表象，促進算理的抽象理解
　　華羅庚曾說過：數缺形時少知覺，形少數時難入微。在計算教學中，如果能融入數形結合的形體表象，更容易促進學生對算理的抽象理解，使學生的算理、算法溝通更加入微。
　　比如，在教學“分數乘以分數”計算時，為了促進學生對算理算法的理解，通常采用乘法意義支撐下的折紙、涂色策略，幫助學生理解“為什么可以用分子乘分子之積作分子、分母乘分母之積作分母”。如× =的算理教學過程：教師先讓學生用多種方法驗證其是否正確，然后通過折紙的方法向學生展示×的算理（先折出一張紙的，然后再折出這張紙的）；但讓學生獨立用圖表征×時，就有一部分學生不會解釋。
　　在教學中，筆者采用了數形結合的形體表象來支撐×算理理解，取得了比較好的教學效果。
　　出示題目：有一塊長米、寬米的玻璃，請計算它的面積。筆者引導學生用一個正方形代表1平方米，一邊取出1米的，另一邊取出1米的；面積自然是×。通過延長所有分割點，就很好理解面積是平方米。用格子圖去溝通算理與算法，就很容易了（陰影部分面積占總面積的），對分母20、分子3的理解都借助了幾何知識的長乘寬，讓學生腦海中的表象更清晰，更有形體與空間感。
　　經過折紙、展示、辨析、畫圖等數形結合的過程，幫助學生利用乘法的意義很好地解釋了為什么可以用分子乘積作分子，分母乘積作分母的道理，而把分數乘法納入長方形的面積計算的形體表象以后，學生的算理理解就更有深度：一幅直觀的表象支撐，一旦在學生腦海中構建起來了，學生的理解水平就進入了一個更高水平——抽象化的理解水平。
　　在計算教學中，對算理算法的有效理解，除了適時構建“結構性的情境表象、直觀學具的操作表象、數形結合的形體表象”以外，還有很多其他的好策略，比如動手操作、模擬實驗、位值推理、遷移、模仿、轉換等。
　　教師除了在新課教學中要關注算理的理解外，還需要把算理的理解貫穿到計算教學的全過程，根據學生的年級段特點、個性差異逐步幫助學生理解算理，讓不同的學生采用最適合自己的方式去理解算理，允許一部分學生事后理解算理。但在算理理解過程中，讓學生構建多元的數學表象，促進學生對算理的深度理解，是計算教學對算理理解的一種理想價值追求。如何深度挖掘素材與活動的價值（數學結構與知識本源），如何合理利用數學表象與多元表征形式，促進學生對數學知識的深度理解，這都是值得教師去研究、去探索、去實踐的。
　　（浙江省寧波萬里國際學校 315040）