也談“三角形內(nèi)角和是180°”的證明

　　《小學(xué)教學(xué)》（數(shù)學(xué)版）2011年第12期上發(fā)表了曾小平和韓龍淑老師撰寫的《三角形內(nèi)角和的證明與教學(xué)》一文，文中指出：“在小學(xué)數(shù)學(xué)里，很多數(shù)學(xué)結(jié)論都是通過歸納發(fā)現(xiàn)的，并沒有通過嚴(yán)格的證明就直接開始運(yùn)用。這似乎是一種殘缺，遺憾的是，小學(xué)數(shù)學(xué)的知識量有限，不可能完全彌補(bǔ)這一殘缺。然而‘三角形內(nèi)角和為180°’卻是能彌補(bǔ)這一殘缺的為數(shù)不多的知識點(diǎn)。因而對它的教學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與證明的基本過程，滲透歸納與演繹兩種基本的數(shù)學(xué)思想方法。”由此可見，曾老師認(rèn)為用小學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識可以通過演繹推理的方法來證明“三角形的內(nèi)角和是180°”。這種想法是很好的，但可惜的是，僅用小學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)知識通過演繹推理的方法來證明“三角形的內(nèi)角和是180°”是辦不到的，教師只能容忍這種“殘缺”。
　　曾老師設(shè)計(jì)的教案中，第一部分是讓學(xué)生運(yùn)用猜想、圖形剪拼、測量、歸納等方法發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)結(jié)論：“三角形的內(nèi)角和是180°”，第二部分教學(xué)內(nèi)容就是運(yùn)用演繹方法證明結(jié)論（教學(xué)過程如下）。
　　“（二）運(yùn)用演繹方法證明結(jié)論
　　師：三角形的內(nèi)角和確實(shí)是180°，如何用我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來證明這個(gè)結(jié)論呢？
　　生：對于直角三角形，可以用兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成一個(gè)長方形（圖略）。長方形四個(gè)角是直角，其內(nèi)角和為90°×4=360°，這樣每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和為180°。對于銳701c65798076dd9a182ba8c9d41da0f0b7ee8628f66f6e0a8b204f51efda872d角和鈍角三角形，我還沒想出來。
　　生：對于非直角三角形，可以在內(nèi)部作一條高，將其分成兩個(gè)直角三角形（圖略）。這樣兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和為360°，減去高與底邊所成的兩個(gè)直角的度數(shù)，就得到所求的非直角三角形的內(nèi)角和為180°。……
　　師：嗯，非常好！這樣，我們就成功地證明了‘三角形的內(nèi)角和為180°’這個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)結(jié)論。”
　　事實(shí)上，這個(gè)被教師稱為“成功的證明”并不是用演繹推理方法進(jìn)行的“證明”，其“證明”過程中存在著兩個(gè)值得商榷的問題。
　　一、 “長方形的內(nèi)角和是360°”是怎么得到的
　　證明過程中用到了“長方形的內(nèi)角和是360°”這個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是怎么得到的？
　　一般地，“四邊形的內(nèi)角和是360°”是通過將四邊形用對角線分成兩個(gè)三角形，再由“三角形內(nèi)角和是180°”推導(dǎo)出來的。因?yàn)殚L方形是四邊形，所以內(nèi)角和是360°（當(dāng)然也可直接將長方形分成兩個(gè)三角形進(jìn)行推導(dǎo)）。人教版教材在“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)中還安排了這樣一個(gè)練習(xí)：“根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，你能求出下面的四邊形和正六邊形的內(nèi)角和嗎？”由此可知，小學(xué)中求多邊形內(nèi)角和確實(shí)以“三角形內(nèi)角和是180°”為依據(jù)。這樣一來，證明過程就會有“循環(huán)證明”之嫌。好在長方形是特殊的四邊形，教師可以不用“三角形內(nèi)角和是180°”為依據(jù)，而是可以根據(jù)它的定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（長方形）”及平行線的某些性質(zhì)（例如同旁內(nèi)角互補(bǔ)）推導(dǎo)出長方形四個(gè)角都是直角，從而得到了“長方形內(nèi)角和是360°”的結(jié)論，但是“平行線的性質(zhì)”是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，并不是四年級小學(xué)生所掌握的知識，論證過程中不好應(yīng)用。曾老師也許考慮到了這一點(diǎn)，因此提出了另一種說法，認(rèn)為長方形四個(gè)角都是直角是“默認(rèn)為正確的而不加以證明，相當(dāng)于平面幾何中的公理”。為了證明需要，就把“長方形四個(gè)角都是直角”當(dāng)作“公理”而不加以證明，并且把它當(dāng)作演繹推理的依據(jù)，這樣處理不是很妥當(dāng)。其實(shí)，即使把“長方形四個(gè)角都是直角”當(dāng)作“公理”，僅用小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些知識，要用演繹法來證明“三角形的內(nèi)角和是180°”也是做不到的。
　　二、 兩個(gè)完全一樣的直角三角形為什么可以拼成一個(gè)長方形
　　學(xué)生在開始“證明”時(shí)就提出：“可以用兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成一個(gè)長方形。”這正是“證明結(jié)論”的關(guān)鍵。然而，正是這句話出了問題。試想在還不知道直角三角形的內(nèi)角和是180°時(shí)，怎么能知道這樣兩個(gè)直角三角形一定能拼成一個(gè)長方形呢？
　　為了方便，筆者借助圖形來說明問題。
　　假設(shè)△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是兩個(gè)完全一樣的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把這兩個(gè)三角形如圖所示拼起來，如果能拼成一個(gè)長方形，那么必須滿足條件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，當(dāng)你說“可以用兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成一個(gè)長方形”時(shí)，已經(jīng)應(yīng)用了直角三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論。這樣一來，證明過程就形成了這樣一個(gè)怪圈：先默認(rèn)直角三角形的內(nèi)角和是180°，否則它的兩個(gè)銳角就不能拼成一個(gè)直角）→它的兩個(gè)銳角可以拼成一個(gè)直角→兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成一個(gè)長方形→長方形內(nèi)角和是360°→每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°。顯然，用這樣的方法來證明“三角形的內(nèi)角和是180°”是錯(cuò)誤的。這種“證明”方法的實(shí)質(zhì)是用直角三角形的兩個(gè)銳角拼一拼，而且沒有任何理由就認(rèn)定了這兩個(gè)銳角拼成了一個(gè)直角，這根本不是在用“演繹方法”證明“直角三角形的內(nèi)角和是180°”。再以此結(jié)論為依據(jù)來證明“非直角三角形的內(nèi)角和也是180°”就失去了意義。像這種錯(cuò)誤的“證明”也并不鮮見，例如在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2009年第12期中刊登的《“三角形內(nèi)角和”一課的教學(xué)現(xiàn)象分析與思考》一文中也是用這種方法證明的，在公開發(fā)表的這些文章影響下，估計(jì)這樣的錯(cuò)誤證法還會在課堂教學(xué)中出現(xiàn)，對此教師應(yīng)該予以足夠重視。
　　要證明“三角形的內(nèi)角和是180°”是需要以平行線的性質(zhì)為基礎(chǔ)的，在初中數(shù)學(xué)教材中，應(yīng)用平行線的性質(zhì)很容易用演繹推理的方法證明這個(gè)結(jié)論（證明略）。華東師大的張奠宙教授曾在《小學(xué)教學(xué)》（數(shù)學(xué)版）2011年第3期中指出：“要證明三角形內(nèi)角和的定理，平行公理無論如何是繞不過去的。”顯然，學(xué)生在未掌握平行線性質(zhì)的情況下，要用演繹推理的方法來證明“三角形內(nèi)角和是180°”是不可能的，而事實(shí)上也是沒有必要的。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》第24頁對這一內(nèi)容提出的教學(xué)目標(biāo)是了解“三角形內(nèi)角和是180°”，與四年級下冊數(shù)學(xué)教材（人教版）配套的《教師教學(xué)用書》第135頁上對這一內(nèi)容提出的教學(xué)目標(biāo)是知道“三角形的內(nèi)角和是180°”。有些教師在實(shí)際教學(xué)中總是喜歡拔高教學(xué)目標(biāo)，例如對于“三角形內(nèi)角和”這一教學(xué)內(nèi)容，不僅要學(xué)生“知道三角形內(nèi)角和是180°”，而且還要求他們用演繹推理的方法來證明，這樣做有時(shí)真的會“弄巧成拙”。
　　文中不妥之處敬請各位老師批評指正。
　　（浙江省杭州師范大學(xué)初等教育學(xué)院 310036）