“簡算”真的簡單嗎

　　在一節(jié)“簡便運(yùn)算”的習(xí)題課上，教師向?qū)W生出示了如下題目：53+36+47=？
　　教師希望學(xué)生使用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“湊整”方法，將47與36調(diào)換運(yùn)算順序，先算５３＋４７＝１００，再算１００＋３６＝１３６，以達(dá)到簡便運(yùn)算的目的。觀察發(fā)現(xiàn)，有部分學(xué)生仍堅(jiān)持先算５３＋３６＝８９，再算８９＋４７＝１３６。當(dāng)教師將以上兩種方法對比講解后，引導(dǎo)學(xué)生思考：“你認(rèn)為這兩種方法哪一種更簡便呢？”全班同學(xué)幾乎異口同聲地說第二種方法簡單！
　　這樣的案例在小學(xué)課堂中并不少見，教師認(rèn)為的簡便，學(xué)生并不認(rèn)可。本題中，教師認(rèn)為先“湊整”后計(jì)算可以省略使用豎式的過程，是一種簡便方法，而學(xué)生卻寧愿使用豎式進(jìn)行繁瑣的書寫，也不愿意去“湊整”。由此引發(fā)的問題是，簡算真的簡單嗎？簡算這一內(nèi)容在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中究竟應(yīng)當(dāng)如何開展？
　　一、 簡算其實(shí)不簡單
　　顧名思義，“簡算”就是用簡便方法進(jìn)行計(jì)算。從書寫過程來看，簡算通常要比普通計(jì)算步驟少，顯得更為簡便。但從思考過程來看，簡算其實(shí)并不簡單。以上題為例，把兩種不同方法的思考過程列出進(jìn)行比較，就可以看出簡算過程的復(fù)雜性。
　　從表中看出，簡算的思維含量相對較多，計(jì)算之前需要先經(jīng)歷“尋找可以湊整的數(shù)”的觀察和思考。這一步對學(xué)生來說通常是困難的，要在觀察的基礎(chǔ)上，調(diào)動(dòng)頭腦中有關(guān)運(yùn)算的各種知識。有時(shí)教師為了避免在簡算中出現(xiàn)錯(cuò)誤，通常還要求學(xué)生用普通方法進(jìn)行驗(yàn)算。這無疑更加大了簡算的工作量，使得簡算難上加難。而使用方法二中的普通算法，則避免了這些思維過程，只需按順序進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生唯一需要關(guān)注的僅是確保計(jì)算正確。因此，簡算過程思維含量大應(yīng)當(dāng)是學(xué)生不喜歡簡算的一個(gè)原因。
　　從小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的系統(tǒng)性來看，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》明確指出“第二學(xué)段4~6年級學(xué)生應(yīng)能夠探索和理解運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡便運(yùn)算”。根據(jù)這一要求，各個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材都在小學(xué)4或5年級安排了“簡便運(yùn)算”的內(nèi)容，要求學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算定律，并應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡算。而在此之前，教材中并沒有出現(xiàn)過“簡算”一詞，也沒有相關(guān)的要求，這就造成了學(xué)生缺少簡算的系統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)。
　　而學(xué)生的計(jì)算通常是在保證結(jié)果正確的基礎(chǔ)上更傾向于使用自己熟悉的方法①。小學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算之初，熟悉的是口訣和豎式，經(jīng)過大量練習(xí)，已經(jīng)形成了一種熟悉的操作程序。見到計(jì)算題之后的第一反應(yīng)就是列豎式，這種長期的訓(xùn)練影響了學(xué)生對計(jì)算方法的選擇。從計(jì)算發(fā)展的歷史來看，豎式是為了減輕計(jì)算過程中的思維負(fù)擔(dān)，使得計(jì)算過程程序化的產(chǎn)物②。使用豎式計(jì)算不需要區(qū)分題目間數(shù)據(jù)的區(qū)別，只需要按照程序進(jìn)行操作，具有較少的思維含量。因此在某種程度上，學(xué)生更愿意使用豎式計(jì)算也是一種“求簡”心理，只不過這種“簡便”簡化的是思維過程。
　　學(xué)生的簡算學(xué)習(xí)還會受到某些非智力因素的影響，主要是動(dòng)機(jī)和情感方面。所謂動(dòng)機(jī)是激發(fā)和維持個(gè)體進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)，并導(dǎo)致該活動(dòng)朝向某一目標(biāo)的心理傾向或動(dòng)力。學(xué)生往往對新的事物更有興趣，而簡算是讓學(xué)生對一個(gè)已知問題進(jìn)行再學(xué)習(xí)，簡算與普通算法雖在運(yùn)算過程中存在差別，但從結(jié)果正確的角度看，簡算并不是十分必要的。這就降低了學(xué)生學(xué)習(xí)簡算的動(dòng)機(jī)。
　　此外，學(xué)生還對簡算帶有“懼錯(cuò)”心理。簡算的思維含量高等因素導(dǎo)致了它比普通算法更易出錯(cuò)。一道相同的題目，使用普通算法可以做對，運(yùn)用簡算反而容易出錯(cuò)，這在學(xué)生情感上是難以接受的。而頻頻出錯(cuò)的簡算則直接給學(xué)生留下了不好的印象。
　　二、 讓簡算因需要而產(chǎn)生
　　學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)更傾向于接受對他們來說“有用”和“有意義”的知識。簡算作為計(jì)算方法，其優(yōu)越性主要db125b4bafcdd561523512d2ca4aa868ca949f18175b9afaa2be2e75494d5fba反映在巧妙、快捷，可以避免繁瑣的計(jì)算程序上。在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過例題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到簡算方法的必要性和優(yōu)越性，讓簡算方法因需要而產(chǎn)生。如３８＋４４＋３９＋６２＋５６＋２１，其特點(diǎn)是加數(shù)多，如果按照運(yùn)算順序依次計(jì)算，必然會使得計(jì)算程序復(fù)雜，如果首先觀察數(shù)字規(guī)律，采用“湊整”的方法，可以減少計(jì)算的工作量。
　　教學(xué)中如果對于相對簡單的計(jì)算題教師強(qiáng)迫學(xué)生“能簡算的要簡算”，會讓學(xué)生感到簡算是一種負(fù)擔(dān)，從感情上不能接受。因此，簡算教學(xué)的一個(gè)基本原則是讓簡算因需要而產(chǎn)生。
　　簡算試題在課本、試卷中通常是以純計(jì)算題形式出現(xiàn)，這樣的形式導(dǎo)致學(xué)生很難看到簡算在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)越性。因此在簡算教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意設(shè)計(jì)簡算問題與實(shí)際問題的聯(lián)系。比如面對“每件衣服99元，買5件這樣的衣服需要多少錢？”這樣的問題時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生把每件衣服看成100元，口算得出5件衣服500元，之后減去每件衣服多出的1元，結(jié)果為５００－１×５＝４９５元；也可以將每件衣服看成90元，口算出5件衣服450元，再加上每件衣服多出的9元，結(jié)果為４５０＋５×９＝４５０＋４５＝４９５元。可以看出，無論使用哪種方法，事實(shí)上都利用了簡算中“湊整”的方法。把簡算與實(shí)際問題結(jié)合起來，讓學(xué)生看到簡算的用途，也應(yīng)當(dāng)是簡算教學(xué)的一個(gè)原則。
　　三、 讓學(xué)生經(jīng)常接觸簡算
　　教材中通常將“運(yùn)算律與簡便計(jì)算”放在專門的章節(jié)中，把簡算作為專門練習(xí)，這種做法并不可取。簡算實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)的是算法多樣化，這種意識、思想和方法應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。下表列出了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中與計(jì)算有關(guān)的知識點(diǎn)：
　　其中“運(yùn)算律與簡便計(jì)算”被安排在四年級下冊的一個(gè)單元中單獨(dú)學(xué)習(xí)，這一編排會產(chǎn)生兩個(gè)誤解。第一是簡算只和運(yùn)算律有關(guān)；第二是其他內(nèi)容中沒有簡算。而事實(shí)是只要有計(jì)算，就會有簡算。比如在低年級學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù)的認(rèn)識及簡單的加減法時(shí)，“４５＋４８”一題至少可以有八種不同解法③：
　　這些方法在形式上差別不大，其實(shí)卻包含了“拼”“湊”“拆”“合”“補(bǔ)”等多種方法。同樣的45，既可以將它看成40+5，也可以看成50-5，還可以看成是任意幾個(gè)數(shù)的和、差、積、商。此時(shí)45就不僅僅是一個(gè)簡單的數(shù)，而可以是很多種不同的組合。
　　同樣的方法也適用于乘除法的計(jì)算。例如任意一個(gè)數(shù)乘以16，就可以把16看為：16=2×8=4×4=2×2×2×2。由此任意一個(gè)數(shù)乘以16就轉(zhuǎn)變?yōu)閷⑦@個(gè)數(shù)“四次乘以2”。如15×16，口算是難以算出的，而將15“四次乘以2”則容易得多。
　　在小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)算中也可以滲透簡算，即使題目沒有要求，仍然可以創(chuàng)造條件簡算，方法因題而異。如9.25×4，通過已知的0.25×4=1聯(lián)想到使用乘法分配律簡算，因此將9.25看成9+0.25，就可以有如下算法：（９＋０.２５）×４＝９×４＋０.25×4=36+1=37
　　再如分?jǐn)?shù)，既可以將它看成5+，也可以看成6-，還可以看成4+、3+等。在計(jì)算20×?xí)r，將它看成5+，利用乘法分配律湊出100相對比較簡單；而計(jì)算×?xí)r，顯然直接約分更為簡便。
　　讓學(xué)生經(jīng)常接觸簡算，其目的并不是加大簡算題目的練習(xí)量，而是在計(jì)算教學(xué)中時(shí)時(shí)滲透算法多樣化的思想，逐步提高面對問題選擇方法的能力。標(biāo)準(zhǔn)算法偏重于學(xué)生程序化的操作能力，是對技能的訓(xùn)練。而簡算教學(xué)則應(yīng)當(dāng)更注重學(xué)生的思維過程，應(yīng)該貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。
　　①參見：John Threlfall. Flexible Calculation. Educational Studies in Mathematics.Vol.50，No. 1 （2002）， pp. 29-47.
　　②參見：郜舒竹．計(jì)算違法并非壞事．教學(xué)月刊小學(xué)版［J］，2011．4.
　　③參見：John Threlfall. Flexible Calculation. Educational Studies in Mathematics. Vol.