在遞推中尋找規律

　　【教學內容】
　　在數學題目中嵌入歷史名人的故事，如“李白沽酒”“愛因斯坦的帽子”等，是數學教學中常見的一類題。本文以“王冕取環”的故事為學習材料進行教學。
　　【教學目標】
　　1． 在探索取環的過程中，讓學生逐步體會運用遞推法思考問題。
　　2． 在用遞推法解決問題的過程中，讓學生逐步發現“規律”（實際應該是“假設”），修正“規律”，最后總結出真正的規律。
　　3． 通過情境化學習，培養學生解決數學問題的興趣，養成良好的數學思維習慣。
　　【活動過程】
　　一、 故事引課，提出問題
　　（一） 故事引課
　　師：聽說過王冕嗎？
　　生：他是著名的大畫家……
　　師：是啊，王冕是元代著名畫家、詩人、書法家，浙江諸暨人。
　　師：那你知道他小時候是什么樣的嗎？（課件出示王冕在學堂外聽課的圖片）
　　師：王冕小時候家境貧苦，沒有書讀，常常獨自躲在學堂門外，聽先生講課。（課件出示王冕放牛畫荷花的故事）
　　師：他聰明刻苦，放牛時，牛兒去吃草，他便獨自在池邊，臨摹池中荷花。最終成為遠近聞名的大畫家。今天老師帶來了既跟數學有關也跟王冕有關的小故事。
　　（點評：在人類的歷史長河中，有許多的勵志故事千古傳頌，王冕放牛聽書、作畫就是其中之一。教師運用插圖點評的形式，用簡明的設計與簡潔的語言，為學生勾勒出一個在貧寒中成長的少年形象，為引出數學問題和研究數學問題做好了情感的鋪墊。）
　　（二） 提出問題
　　教師在課件中出示下面一段文字與圖示。
　　傳說，王冕小時曾為一個財主放牛，講明的條件是：每月以一個銀環做工錢。當王冕做完了一個月工作后，財主拿來了一串小小的銀環，在他面前晃了晃，說：“喏，這是你七個月的工錢，但是有個條件：這七個銀環只準斷開其中一個，你每月也只能取走一個。當月付清當月的工錢，不拖不欠。假如你違反規定，不但拿不到工錢，還要把已經付出的全部收回。”王冕一聽，這顯然是在刁難他。但是窮人又上哪去講理？他只得答應照辦。為了掙錢活命，他每天一面給主人辛勤勞動，一面思考著怎樣才能按月取走工錢。
　　后來，他終于想到了辦法，在七個銀環中只斷開一個，以后每月都如數地取走一個銀環的工錢。王冕用了什么辦法呢？
　　師：要解決這個問題，理解哪句話是最關鍵的呢？
　　生：這七個銀環只準斷開其中一個，你每月也只能取走一個。當月付清當月的工錢，不拖不欠。
　　師：這句話你是怎么理解的呢？
　　生：就是只有一個銀環可以斷，而且每個月只能取走一個，不多不少。
　　師：這節課我們就要來解決“王冕取環”的問題，（板書：王冕取環）能解決這個問題的請舉手。
　　師：看來大部分同學都有困難，那么會的同學請等一等，請把你的智慧和方法等會兒慢慢地展示給大家。
　　（點評：數學故事轉化成數學問題，需要有一個提煉的過程，教師通過設問引導學生從中概括出數學問題。由于學生的學習背景不同，可能有個別學生已經學習過這樣的問題。但是，如果要他們直接回答這個問題，就有可能影響其他同學的思考，因此，教師沒有讓這部分學生直接發表意見，以照顧大部分學生的思維狀態。）
　　二、 由簡到繁，遞推規律
　　（一） 探究三到五環
　　1. 探究3環的情況
　　教師課件出示下圖后提問：如果問題變成這樣呢？我們一起讀一讀。
　　師：可以怎么解決，你會斷在哪里？
　　生：斷在第2環。
　　師：是這樣嗎？那么變成了——（板書：1，1，1）
　　師：老師認為還可以這樣斷（見左圖），我們又可以把這種情況記做——（1，2）。
　　師：那么第一個月可以解決嗎？怎么解決？
　　生：直接拿走一環。
　　師：問題是第二個月，怎么取？現在只有兩環，如果拿走了就……（多拿了一環），但是我們只要——（一環）。
　　師：誰能到前面來操作一下。（請學生到前面演示）
　　師：現在請你從信封中取出1環和2環，操作一下，并跟你的同桌互相說一說。
　　師：現在你對這種方法有感受了嗎？
　　（點評：從三個環中斷開一個環，可以變成（1，1，1）和（1，2）兩種情況。教師對第一種沒有演示與說明，而對第二種情況卻讓學生用學具具體演示。因為第二種情況中，第二個月的工錢的拿法中出現的“多拿后還回”的策略是解決這類問題的關鍵。）
　　2. 探究4環的情況
　　師：那么如果問題又變成這樣呢，你也會解決了嗎？
　　課件出示：
　　學生獨立思考，并展示所用的方法。教師板書記錄：（1，1，2）或（2，1，1）。
　　3. 探究5環的情況
　　師：大家有信心挑戰五環嗎？
　　教師請學生按活動要求獨立操作，先想再驗證。
　　由以上幾個步驟得到如下板書：
　　師：請看表格，你發現了什么規律？
　　生：我發現情況2中的前面兩個部分都是1環和1環，余下的組成第三個部分。
　　生：我發現情況1的數據中，３環是（1，2）；４環是（1，2，1）；５環是（1，2，2），前面兩個部分都是1環和2環，第三個部分就是余下的。
　　師：看來情況1和情況2都是有規律的，根據剛才你所發現的，能猜出6環應該分成哪三個部分嗎？
　　生：按照情況1猜測是（1，2，3），根據情況2猜測是（1，1，4）。
　　師：那么現在請你思考哪種猜測你可以先排除掉，為什么？
　　生：（1，1，4）可以直接排除，因為第三個月的時候沒辦法取環了。
　　師：看來情況2中的規律到6環的時候就不能成立了。
　　（點評：探究4環、5環后，根據已有的素材總結出“規律”，而這一個規律實際上還是一個“假設”，需要再舉例子進行驗證。所以探究6環，實際就是驗證假設的過程。通過驗證發現情況2不成立，從中讓學生感受到，從現象中歸納出來的“規律”，有它適合的范圍。）
　　（二） 探究六到七環
　　師：那么情況1的猜測（1，2，3）呢？我們來驗證一下它可以斷在哪里。
　　生：可以斷在第三環，也可以斷在第四環。（生說，師點擊對應的課件）
　　師：從這里我們又可以發現什么？
　　生：1總是放在中間，2和3交換了位置。
　　師：現在就請你從信封中取出1環、2環和3環進行驗證。
　　（教師請學生操作，如果有不同的順序，就請學生來進行補充）
　　師：通過剛才的驗證，看來情況1的規律還在延續，那么現在你還能繼續猜測7環嗎？
　　生：就是（1，2，4）。
　　師：根據（1，2，4）的猜測，我們可以斷在哪個環？
　　生：第三環或者第五環。
　　師：好，現在誰能解決王冕取環的問題呢？（請學生展示）
　　（點評：在這個教學過程中可以發現，在解決簡單問題中發現的規律，也有可能不適合于解決復雜問題。因此，教師引導學生在探究3環、4環和5環中總結出的兩種規律，通過在探究6環和7環中的應用和驗證，讓學生逐步發現一些規律的局限性。）
　　三、 深度探究，探索規律
　　師：到這里，關于“王冕取環”中的問題解決了。但繼續往下想，如果是8環，斷成三個部分行不行？（課件出示1，2，5）
　　生：不行。
　　師：看來按要求取，斷成三個部分，最多只能是7個環。那么8環如果按要求取，看來至少需要斷成四個部分。
　　師：也就是說第三個部分最多只能是“4”。所以我們就要把這里的5變成：讓4留下，然后剩下1。（見左表）
　　師：8環就斷成了（1，2，4，1），那么這種分析到底是否正確呢？該怎樣驗證呢？
　　生：因為７環（1，2，4）已經驗證肯定可以了，所以第八個月的時候只要直接拿剩下的一環就可以了。
　　師：那么9環（1，2，4，2）呢？如何迅速驗證呢？
　　生：同樣的道理，（1，2，4）肯定已經解決前面7個月的問題，而剩下的“2”，只要直接拿走2環，還回1環就可以了。
　　師：那么10環（1，2，4，3）？可以嗎？
　　師：請你想一想，按照這個下去，第四部分最多應該可以是幾環？
　　（根據學生猜測，如果是認為（1，2，4，6）的，那么就先驗證13環，然后繼續驗證14環）
　　師：那么到底什么時候這個規律又會發生轉折呢？我們從上往下看。
　　師：你能找到規律了嗎？
　　生：應該是到（1，2，4，8），也就是15環的時候。（師課件點擊一直到15環為止）
　　（請學生在小組內驗證）
　　師：那么16環呢？
　　學生在小組內驗證，發現驗證分成四個部分不能按要求完成。
　　師：看來16環又需要增加一個部分，至少斷成5部分，那么你能猜測是多少嗎？
　　生：（1，2，4，8，1）。
　　師：如果再增加環數，還可以分成哪幾個部分呢？
　　（點評：我們可以發現，7個環時研究的背景是只斷開一個環后，每個月可以取到一個銀環，而研究大于8個環時，則把它轉化為至少斷成幾個部分，可以每個月取到一個銀環，這樣有利于對規律的進一步研究。同時，在驗證時，教師引導學生利用前面驗證的結果，既節省了時間，也讓學生感受到事件的聯系性。）
　　四、 課堂總結，提煉方法（略）
　　（浙江省杭州市蕭山區寧圍四小 311215）