在嘗試探索中學會推理

　　【設計背景】
　　塔塔利亞是１６世紀意大利著名數(shù)學家、軍事科學家，編了許多數(shù)學題，這些題目都很有趣。其中一則關于貓和老鼠的題目，在解決問題的過程中，可以讓我們逐步感受到嘗試與推理相結(jié)合的數(shù)學探究方法的內(nèi)在魅力。下面是具體的題目：
　　13只老鼠圍成一圈，其中有一只白老鼠，一只白貓要吃掉其中的12只老鼠。
　　它從某只老鼠開始數(shù)數(shù)，依某個方向數(shù)到13時，就吃掉這只；剩下12只老鼠，白貓從剛吃掉的那只老鼠繼續(xù)往前，從1開始數(shù)數(shù)，按照原來的方向，數(shù)到13時，就吃掉那只；然后又數(shù)數(shù)……一直進行下去，直到剩下一只老鼠為止。
　　試問：怎樣能使白老鼠不被吃掉？
　　這道題目并不難，只要耐心嘗試，就可以找到不被吃掉的白鼠的位置。在嘗試的過程中，引導學生思考：被先后吃掉的老鼠之間有怎樣的位置關系？如果改變貓吃老鼠的起點，白鼠的位置應該怎樣發(fā)生變化？在數(shù)幾只吃一只規(guī)律不變的情況下，增加或減少老鼠的總只數(shù)，又有什么規(guī)律？……學生通過對以上這些問題的思考，可以促進其邏輯推理能力的發(fā)展。
　　（本內(nèi)容作為社團活動可以在五下年級進行，全班性的數(shù)學活動適合在六下年級進行。）
　　【教學目標】
　　1． 通過塔塔利亞小白鼠名題的探究，讓學生初步體會運用嘗試法來解決問題，并且在嘗試的過程中，能自覺地發(fā)現(xiàn)并應用規(guī)律。
　　2． 經(jīng)歷嘗試、猜測、驗證等活動過程，發(fā)展學生觀察、比較、推理等思維能力。
　　3． 在嘗試探究解決問題的過程中，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)與思維習慣。
　　【活動過程】
　　一、 激趣引題，理解題意
　　1． 激趣引題
　　教師課件出示有關貓和老鼠的圖片。
　　師：貓和老鼠之間會發(fā)生什么故事呢？這節(jié)課我們就來研究“貓和老鼠”的數(shù)學故事。
　　教師課件出示題目第一部分：13只老鼠圍成一圈，其中有一只小白鼠，一只白貓要吃掉其中的12只老鼠，它從某只老鼠開始數(shù)數(shù)，按某個方向數(shù)到13時，就吃掉這只。
　　師：同學們自己讀一讀，想一想是什么意思？
　　學生說一說，教師用手比劃。
　　2． 理解題意
　　師：如果能畫一張圖，或許就更清楚了。老師這里就有這么一張圖，你能看懂嗎？（課件出示圖１）
　　師：這些小圓圈就表示老鼠，白貓可以任選一個位置開始數(shù)數(shù)，可以按順時針或逆時針方向數(shù)。為了便于大家交流，今天我們就讓白貓乖乖地都按逆時針方向數(shù)，并按數(shù)數(shù)的方向，把所有的老鼠也都編上號。
　　師：現(xiàn)在白貓可以開始數(shù)數(shù)吃老鼠了，那白貓第一次吃掉的會是幾號老鼠呢？
　　生：13號。
　　教師邊指邊數(shù)，進行驗證。（課件逐步演示成圖２）
　　（點評：教師用“貓和老鼠”的故事創(chuàng)設了有趣的情境，更容易激發(fā)學生探究的興趣。題目內(nèi)容較長，如果整體出示題目，不利于學生理解。教師將題目分段出示，并數(shù)形結(jié)合，輔以圖示幫助學生更為直觀地理解題意。在學生理解第一段題意后，讓學生初步嘗試回答白貓第一次吃掉幾號老鼠，并通過邊指邊數(shù)進行驗證，讓全體學生都能掌握白貓“逢13吃一只老鼠”的規(guī)則。）
　　二、 嘗試探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律
　　1． 嘗試操作
　　（1） 嘗試吃第二只老鼠
　　師：吃掉一只老鼠后，現(xiàn)在剩下幾只？
　　生：12只。
　　師：白貓接下去要干什么？
　　教師課件出示題目第二部分：剩下12只老鼠，白貓從剛吃掉的那只老鼠繼續(xù)往前，從1開始數(shù)數(shù)，按照原來的方向，數(shù)到13時，就吃掉那只。
　　師：這次從哪里開始數(shù)數(shù)？
　　生：1號。
　　師：你認為這次會吃掉幾號老鼠？
　　指名學生邊指邊數(shù)，標出第二次被吃掉的老鼠。
　　（2） 嘗試吃第三只老鼠
　　師：第二次吃掉了1號老鼠，白貓接下去又會做什么呢？
　　教師課件出示題目第三部分：然后又數(shù)數(shù)，如此反復，一直進行下去，直到剩下一只老鼠為止。
　　師：想一想是什么意思？
　　生：白貓繼續(xù)數(shù)數(shù)，數(shù)到13時，就吃掉這只老鼠。就這樣一直數(shù)下去，直到剩下一只老鼠才停止。
　　師：現(xiàn)在從哪只老鼠開始數(shù)數(shù)，吃掉的是幾號老鼠？請在作業(yè)紙上標出。（3號）
　　學生在作業(yè)紙上邊指邊數(shù)，標出第三次被吃掉的老鼠。
　　（點評：在順利地判斷出白貓第一次吃掉的是13號老鼠后，往往會有學生誤認為白貓下一次是從被吃掉的那只老鼠開始數(shù)起。于是教師并沒有完全放手讓學生去繼續(xù)嘗試。而是引領學生逐次嘗試吃掉第二、三只老鼠，并請學生邊指邊數(shù)，在作業(yè)紙上標出被吃掉的老鼠。有了這樣的嘗試操作，將復雜的問題逐步分解，積累活動經(jīng)驗，進一步加深了學生對題意的理解。）
　　2． 提出問題
　　教師課件出示問題：怎樣才能使白老鼠不被吃掉？
　　師：其實問題就是在問要使白老鼠不被吃掉，應該排在哪個位置。我們可以怎樣來解決這個問題？
　　生：繼續(xù)嘗試，直到剩下一只老鼠為止，剩下的那只老鼠就是小白鼠。那我們就知道它最初應該排在什么位置了。
　　（點評：有了前面的鋪墊，教師再提出最后的問題“怎樣才能使白老鼠不被吃掉”，引導學生初步感悟，可以繼續(xù)嘗試，從最后結(jié)果中倒推出小白鼠的最初位置，培養(yǎng)學生的逆向思維能力。）
　　3． 積累經(jīng)驗
　　師：好的，那我們就繼續(xù)嘗試。現(xiàn)在還剩幾只老鼠，第四次從哪里數(shù)起，你猜會吃掉哪只老鼠？請標在作業(yè)紙上。（6號）
　　學生自己數(shù)數(shù)驗證（如圖５）。
　　師：現(xiàn)在還剩幾只老鼠？接下去從哪里數(shù)起，你猜第五次會吃掉哪只老鼠？（10號）
　　學生自己數(shù)數(shù)驗證。
　　師：同學們真了不起，猜得這么準。莫非你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
　　學生觀察圖示，交流規(guī)律。
　　規(guī)律表述1：被吃掉老鼠之間間隔數(shù)每次多一個的規(guī)律。
　　規(guī)律表述2：數(shù)一圈多幾就再數(shù)幾的規(guī)律。
　　規(guī)律表述3：用13除以剩下老鼠只數(shù)，看余數(shù)的規(guī)律。
　　（點評：在學生積累了一定的操作活動經(jīng)驗后，教師讓學生在操作前先猜一猜被吃掉的會是哪只老鼠，能調(diào)動部分學生觀察比較、探求規(guī)律的積極性。在兩次猜測驗證后，教師的激勵大大激發(fā)了學生探究規(guī)律的興趣。對于規(guī)律的表述，則是仁者見仁、智者見智，教師允許學生根據(jù)自己的理解來表達，培養(yǎng)學生的個性思維。）
　　4． 剖析規(guī)律
　　師：為什么會產(chǎn)生這樣的規(guī)律呢？
　　教師引導學生發(fā)現(xiàn)：第一次13只老鼠圍成一圈時，數(shù)13個數(shù)，剛好一圈數(shù)完，不用再數(shù)了，便吃掉最后一只13號老鼠；第二次剩12只時，數(shù)13個數(shù)，數(shù)了一圈不夠，還要再數(shù)一個數(shù)，便吃掉這圈中的第一只老鼠（1號）；第三次剩11只時，數(shù)13個數(shù)，數(shù)了一圈不夠，還要再數(shù)2個數(shù)，便吃掉這圈中的第二只老鼠（3號）……依次類推。
　　根據(jù)學生回答，逐次板書：13+0=13
　　12+1=13
　　11+2=13
　　……
　　師：如果發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，那我們接下去每吃一只老鼠，除了可以一只一只數(shù)，每數(shù)到13就吃掉一只老鼠，還可以先判斷數(shù)幾圈后還要再數(shù)幾個，便能知道吃掉哪只老鼠了。由此看來，數(shù)數(shù)既可以一個一個地去數(shù)，也可以有規(guī)律地去數(shù)。
　　（點評：在教學中，教師要讓學生知其然，更要知其所以然，揭示其內(nèi)在本質(zhì)。本教學環(huán)節(jié)中，教師就引領學生用題中繞圈數(shù)數(shù)的方法，去剖析規(guī)律的內(nèi)在成因，并將直觀感性的繞圈數(shù)數(shù)，抽象成簡潔理性的算式，使學生感悟到余數(shù)的妙用，提升學生的思維能力。）
　　5． 體驗規(guī)律
　　師：用你自己喜歡的數(shù)數(shù)方法繼續(xù)嘗試，看看小白鼠要不被吃掉，最初應該排在哪里？
　　學生繼續(xù)嘗試操作，解決問題。同時談談操作活動的經(jīng)驗體會。
　　（點評：通過規(guī)律的剖析，大部分學生已能運用規(guī)律解決問題，但教師仍提出讓學生用自己喜歡的方法解決問題，較好地顧及到了班內(nèi)的部分學困生。最后教師還讓學生談活動經(jīng)驗，促進更多學生的思維發(fā)展。）
　　
　　6． 變式提升
　　（1） 如果白貓最初從3號位置開始數(shù)數(shù)，那小白鼠應該躲到哪個位置上？
　　（2） 如果白貓最初從9號位置開始數(shù)數(shù)呢？
　　（3） 如果小白鼠在11號位置，白貓不把它吃掉，應該從哪里開始數(shù)起？
　　（點評：教師設計的三個變式練習，并不是讓學生去套用前面探究的規(guī)律，而是激發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)白貓與小白鼠的位置關系，并根據(jù)它們的位置關系進行推算，培養(yǎng)學生的推理能力。前兩題，要學生推算出小白鼠隨著白貓位置變換而變化的安全位置。最后一題則是從小白鼠的位置去倒推白貓的位置，培養(yǎng)學生的逆向思維能力。）
　　7． 小結(jié)提煉
　　師：通過這個復雜問題的解決，你有什么經(jīng)驗要與同學分享？（學生自由說）
　　小結(jié)：正如同學們所說的，在遇到復雜問題時，很多時候需要勇于思考，敢于嘗試，善于發(fā)現(xiàn)和運用規(guī)律，化繁為簡，從而解決問題。
　　三、 應用深化，拓展延伸
　　1. 應用深化
　　師：老師也改編了幾道貓吃鼠的問題。
　　（1） 出示題組
　　①12只老鼠圍成一圈，按逆時針方向數(shù)到3時，就吃掉一只老鼠，如此反復，最后剩下的那只老鼠最初應該排在（ ）號位置。
　　②13只老鼠圍成一圈，按逆時針方向數(shù)到3時，就吃掉一只老鼠，如此反復，最后剩下的那只老鼠最初應該排在（ ）號位置。
　　③14只老鼠圍成一圈，按逆時針方向數(shù)到3時，就吃掉一只老鼠，如此反復，最后剩下的那只老鼠最初應該排在（ ）號位置。
　　（2） 讀一讀，比一比：這三題有哪些異同點？
　　（3） 引發(fā)思考：這三題中都是每數(shù)到3就吃掉一只老鼠，不同的是老鼠總數(shù)每次增加了一只，似乎很有規(guī)律，那最后幸存者的位置會不會也有某種規(guī)律呢？
　　（4） 小組合作完成（組內(nèi)每人做一題）。
　　（5） 反饋交流，探究規(guī)律。
　　出示答案，引導學生觀察圖示，探究規(guī)律：每增加一只老鼠，幸存者的位置就向前移動3個。
　　2. 應用規(guī)律
　　（1） 15只老鼠圍成一圈，按某個方向數(shù)到3時，就吃掉一只老鼠，如此反復，最后剩下的那只老鼠最初應該排在（ ）號位置。
　　（2） 11只呢？
　　師：最后幸存者的位置每次移動3個，而不是4個、5個，這可能跟什么有關？為什么會有這樣的規(guī)律呢？感興趣的同學，課后可以與老師一起再探討。
　　（3） 把“塔塔利亞的小白鼠”問題中的“13只老鼠圍成一圈”，改成“14只老鼠圍成一圈”，那小白鼠要想不被吃掉，應該排在哪里？
　　（點評：這一環(huán)節(jié)的設計，不僅僅是單純的應用練習，更重要的意圖是延續(xù)的思維，深化貓吃鼠問題的規(guī)律。讓學生在觀察比較、溝通聯(lián)系中，去發(fā)現(xiàn)此類問題更多的內(nèi)在關聯(lián)，發(fā)散學生思維。）
　　3. 拓展延伸
　　師：諸如此類貓吃鼠的問題，在西方也叫做“約瑟夫斯問題”，在中國稱作“八仙落座問題”。
　　我國古代數(shù)學專著中有這么一題：環(huán)二十子，內(nèi)有二黑子相連。以九數(shù)之，止處即除一子。除畢，二黑不動。宜從何處起？
　　（1） 讀一讀，比一比：這題與前面的問題最大的不同之處是什么？
　　（2） 學生嘗試解決。
　　（3） 反饋交流。
　　（點評：鏈接相關史料，賦予數(shù)學問題濃濃的文化氣息，讓學生了解到塔塔利亞的小白鼠問題的歷史淵源。學生在相關史料的學習中，進一步知道了其變式與拓展演變，拓寬了視野，厚實了數(shù)學社團活動的文化底蘊。）
　　四、 回顧總結(jié)，拓展思維
　　師：這節(jié)課我們研究了什么問題？你有什么收獲？
　　教師總結(jié)：像塔塔利亞的小白鼠這類問題，其中的規(guī)律奧秘遠不只我們這節(jié)課所探討的，已有許許多多的人對此深入研究過，還根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，編制出了電腦計算程序，可以用于解決數(shù)據(jù)更大的此類問題。
　　（浙江省杭州市蕭山區(qū)長沙小學 311200
　　浙江省杭州市蕭山區(qū)教研室 311200）