學習經典 感受魅力

　　【設計背景】
　　對于同樣一個數學問題，教師可以從不同角度進行研究，如“植樹問題”，如果從“棵數與間隔”的關系進行研究，就是常見的“植樹問題”；如果從“每行棵數與栽的行數”的角度進行分析，就成為了“杰克遜的栽樹問題”。杰克遜是一位數學科普作家，在他的數學科普名著《冬天傍晚的推理娛樂》里有這樣一道題目：
　　9棵樹，每行栽3棵，最多可以栽幾行？
　　這里，只要在同一直線（包括橫、豎、斜）的3棵樹都稱為行。
　　人們一般會認為最多可以栽8行（如圖1）。如果告訴你，實際上可以栽成9行，最多可以栽成10行，你能在左圖的基礎上，進行適當的調整，得到相應的圖示嗎？
　　據說，大數學家牛頓也對這個問題進行過思考，而且還進一步提出了如下問題：
　　10棵樹，每行栽3棵，最多可以栽幾行？
　　類似這樣的“栽樹問題”，英國數學家、邏輯學家道奇生在他的童話名著《艾麗絲漫游仙境》中也提出了下面一道栽樹問題：
　　10棵樹栽5行，每行栽4棵。如何栽？
　　而對于“20棵樹每行栽4棵，最多可以栽幾行”這一個問題的研究，綿延了幾個世紀。
　　從上述資料可以看出，數學學習過程永遠不能滿足于對當前問題的解決，而要不斷地提出問題，解決問題，再提出問題，再解決問題……從而使數學思考更具活力。
　　【教學目標】
　　1． 經歷“栽樹問題”的研究過程，逐步學會利用基本圖示進行變式優化的策略。
　　2． 通過對“栽樹問題”解答過程的了解與圖示的欣賞，感受數學愛好者與數學家的探究精神，以及數學的內在魅力。
　　【活動過程】
　　一、 創設情境，提出問題
　　師：同學們，今天我們來研究一類問題，叫做栽樹問題。
　　師課件出示：9棵樹，每行栽3棵，可以栽多少行？
　　師：誰能回答？
　　生：3行。
　　師課件出示圖２的左邊部分并說明：用圖來表示這樣的過程，就更加清楚了，但在實際數學學習中，我們需要畫出一棵棵樹來嗎？那么，怎樣才能清楚、簡潔地表示樹和行呢？
　　生：用點和線來表示。
　　根據學生的回答教師出示圖２的右邊部分。
　　師：如果老師給這道題加上一句話“三棵樹成一條直線就成為行”，相信題目會更加有趣了。關于這個“行”，你是怎么理解的？
　　師：我們平常的“行”，是怎么樣的呢？（生答）那這里的“行”和我們以前理解的“行”，一樣嗎？（生答不一樣）
　?。c評：怎樣將一個著名的“高高在上”的數學問題和學生已有知識起點連接，是這節課要突破的問題。教師首先引導學生用原有的認識基礎進行審題，從最簡單的栽成3行開始逐步研究，然后在對“行”的新注解下提出問題，找準了思維的增長點。）
　　二、 由簡到繁，遞推規律
　　1. 從栽8行推導栽9行
　　師：在這個題目中，除了這3行，還有其他行嗎？
　　生：可數出8行。
　　教師課件演示圖3后，追問：同學們真善于活學活用，那么為什么棵數沒有增多，行數卻增多了呢？
　　生：有一些重復數。（師板書：重復數）
　　師：哦？重復？那你知道9棵樹分別被重復了幾次？
　　生：2次、3次、4次。
　　師：這些樹的重復次數都一樣嗎？（有些一樣、有些不一樣）
　　師：有些一樣，有些不一樣，那我們可以把這些點進行——
　　生：分類。
　　師：對啊，看來同樣是重復，但重復的次數也不一樣。
　　師：對于同類的樹，就不需要一一研究了，其實這里是9棵樹，而我們待會研究卻只需要——
　　生：3棵樹。
　　師：聰明。那么這是不是我們要來研究的栽樹問題呢？
　　師課件出示題目：9棵樹，每行栽3棵，栽9行，你覺得可以怎么栽？
　　師：你想到了嗎？在紙上畫一畫。完成后同桌相互交流。
　　集體交流，重點提問：你是怎么想到移動這個點的？為什么想到往里面移動？（見圖4）
　　小結：在這個過程中，大家通過自己探索嘗試，通過和同伴的交流討論，解決了這道推理題，真棒。
　?。c評：由栽8行推導栽9行，教師要求學生借助于栽8行的圖示進行思考，為學生提供了一個思考的起點和思維的支架，有利于中下學生的理解。同時，教師在教學中用重疊問題的思考方法來區分不同點被重復的次數，也為學生總結增加行數的基本策略提供了思考的方向。這些小步驟重引導的方法，有利于社團活動基礎相對較弱學生的學習。）
　　2. 從栽9行推導栽10行
　　師：剛才我們研究的問題，大數學家、大科學家牛頓也曾經研究過，他在解答了這個問題之后還發現：9棵樹，每行栽3棵，還可以栽10行。
　　師：我們能在9行的基礎上，解決牛頓提出的問題嗎？
　　這時有人明白了，開始自己畫圖（如圖５）。
　　師：同學們，你知道他是怎么想出來的嗎？請你也說一說思路。
　?。c評：實際上，9棵樹每行栽3棵，栽成9行，還有其他的畫法（如圖６）。但是，就如何從9行的圖示遷移到10行的圖示，顯然圖５的畫法更能使學生形成聯想。因此，在實際教學中，教師在追求方法多樣化的同時，還要注意方法的可持續性。）
　　3. 總結“9棵樹，每行栽3棵”栽樹問題的思路
　　師：在解決“9棵樹，每行栽3棵，可以栽幾行”這個問題時，我們從8行的圖示開始研究，找到了9行、10行這一些畫法。你有什么體會？
　　學生談體會后教師小結：當我們得到一種結果或者結論的時候，不應滿足于現狀，還要繼續研究，像牛頓一樣繼續思考，敢于提出自己的問題。
　?。c評： “9棵樹，每行栽3棵”的栽樹問題，從解決8行，到9行再到栽成10行，一步一步讓學生的思維不斷發展，而在整個過程中，指導學生解題的思維就是“探尋規律”，涉及“分類、重復、類比”等方法，通過解決這個問題的過程，不僅讓學生形成解決栽樹問題的基本思路，更讓學生感受到數學探究的精神。）
　　三、 鏈接史料，感悟精神
　　1. 鏈接史料
　　師：同學們，其實“栽樹問題”是一個古老的數學問題，讓許多的數學家與數學愛好者為之著迷。下面我們以“20棵樹每行栽4棵，可以栽幾行？”這個問題為例來了解它的歷史。
　　早在16世紀時，古埃及完成了16行的排列，并將美麗的圖譜廣泛應用于高雅裝飾建筑、華麗工藝美術。（課件出示圖７）
　　到了19世紀，美國的數學大師loyd Sam 完成并繪制出了精美的18行圖譜，而后還制成娛樂棋盛行于歐美。（課件同時出示圖８）
　　在20世紀70年代，兩位數學愛好者巧妙地運用電子計算機超越18行紀錄，成功地繪制出了精湛美麗的20行圖譜，創造了20棵樹的栽樹問題的新紀錄并保持至今。（課件同時出示圖９）
　　2. 感悟精神
　　教師把圖７、圖８、圖９用箭頭連接，然后提問：從“16行、18行到20行”，經歷了近400年的探索，你肯定有很多體會，愿意和同學們說說嗎？
　　生：同樣的問題，有很多答案出現。
　　生：不要滿足于解決了一個問題，還要繼續思考，并且提出問題。
　　生：要有研究精神。
　　師：同學們，了解了這么多關于栽樹問題的背景知識，你能提出自己的猜想嗎？
　　生：20棵樹，每行4棵。還能栽更多的行數嗎？
　　（點評：“栽樹問題”是一個經典的數學名題，通過上面的例子，讓學生感受到數學研究的漫長與艱辛。同時通過對這些圖示的賞析，也可以體會到圖例的美感，以及數學名題的文化背景。）
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　　浙江省杭州市蕭山區教研室 311200）