小數是特殊的分數嗎?

　　一、 引言：小數是特殊的分數嗎？
　　在一個小學數學教師的交流群里，有一個帖子引發了不少小學教師的討論。這個帖子是“課本上說小數是一種特殊的分數，既然小學已經系統地學習了分數，那么，將小數問題轉化為分數問題來處理就行了，為什么還要學習小數呢？”教師中主要有兩種觀點：一種觀點是，小數是一種特殊的分數，在日常生活中有廣泛的運用，系統地學習一下是有必要的；另一種觀點是，小數不是特殊的分數，它是獨立于整數和分數之外的第三種數，它的意義和運算與整數和分數都有較大差異，因而需要專門學習。
　　小數是一種特殊的分數嗎？筆者帶著疑問查閱了一些相關書籍，得到比較有代表性的的答案是：人們為了應用上的方便，把十進分數改寫成不帶分母的形式，并且按照十進制的進位原則把個位右邊的第1位、第2位、第3位、……分別表示十分位（計數單位是）、百分位（計數單位是）、千分位（計數單位是）、……并在個位和十分位之間加一個標記“．”，這樣十進分數就可以寫成與整數相仿的形式。比如，3=3++=3.24。像3.24這樣不帶分母，按照十進制的位制原則寫出來的十進分數叫做十進小數，簡稱小數。［1］
　　同時，筆者還查閱了現行人教版、北師大版、蘇教版和北京版的小學數學教科書。遺憾的是，這些教科書都沒有明確給出小數的定義，而僅僅是一種描述性說明。有意思的是，這些說明幾乎相同，其中比較有代表性的是這樣的： ［2］
　　首先給出一些具體的生活實例，把1米平均分成10份，一份是1分米，也就是米，可以表示成0.1米，三份是3分米，也就是米，可以表示成0.3米，……把1米平均分成100份，一份是1厘米，也就是米，可以表示成0.01米，三份是3厘米，也就是米，可以表示成0.03米，……
　　然后給出小數的描述性意義：“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示。小數的計數單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、0.001……相鄰計數單位之間的進率是10。”
　　由此，似乎可以認為：小數就是不帶分母的十進分數，小數是一種特殊的分數。現行課程標準和各版本的小學數學教科書也正基于此，在學習小數的意義之前，簡單學習一下分數的意義。課標制定者和教科書編寫者們似乎認為，有了分數的一般意義做基礎，學生似乎更容易理解小數的意義。
　　然而，情況果真如此嗎？筆者聽了一節四年級“小數的意義”的新授課，發現學生學習的實際情況并非如此。教師將一張紙條平均分成10份，取出一份用分數表示是，寫成小數是 0.1；取出兩份用分數表示是，寫成小數是 0.2，學生很容易就認可了這一點。可當教師給學生一張空白紙片，讓學生畫出自己喜歡的小數時，問題就出現了。一些學生將紙片平均分成6份，選擇一份涂上顏色，用分數表示是，用小數表示還是0.1或者不寫小數。筆者問了一個不寫小數的學生，他回答道：“如果＝0.1，＝0.1，就會出現＝，這與原來學過的＞ 矛盾。”
　　這個案例在一定程度上說明，從分數入手認識小數，教學效果并不理想。原因是多方面的，除了教師和學生方面的人為因素外，我們還需要思考知識本身的原因，即像課本上這樣認識小數的意義是否恰當，是否符合數學邏輯，是否揭示了小數的真實意義。
　　不難發現，按照這種觀點描述的僅僅是有限小數，僅僅是我們觀念中的小數的一部分。除了有限小數外，還有很多無限小數（高等數學中還可以證明，無限小數個數遠遠多于有限小數的個數），像0.333…、圓周率π等都是無限小數。而0.333…=不是由十進分數改寫的，而π是一個無理數，更不能用分數表示。
　　由此可見，小數并非一種特殊的分數。上述資料和教科書對小數的認識是存在缺陷的，這或許是導致學生學習小數時出現上述問題的原因之一。因此，為了讓學生順利學習和更深刻地理解小數的意義，我們需要從數學上真正認識小數的意義，并由此科學地設計和實施“小數意義”的教學。
　　二、 小數的意義
　　回顧一下小數的歷史，將有助于我們更好地認識小數的數學本質。
　　（一） 小數的歷史
　　在人類歷史上，認識和使用小數比分數晚得多，最早認識小數的是我國魏晉時期的數學家劉徽。公元3世紀，他在《九章算術注》的《少廣章》中的“開方術”中說：“微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細，……”他的意思是說，“在開平方求無理根的近似值時，得到方根的整數值以后，繼續依法開方求出微數”，這里的“微數”就是指小數。［3］
　　按照劉徽的注解，設被開方數為n，其平方根的整數部分為a，剩余部分為r，那么有=a. …r。繼續求微數，以a1為第一個數字，就把它作為分子，以10做分母（“一退以十為母”），再求一次得到數字a2，把a2作為分子，以100做分母（“再退以百為母”）。依次求下去，比如第k次開盡，這樣得到的分數++…+即為開得的小數部分，進而=a. a1a2…ak。
　　由于中國古代的計算依靠算籌來進行，所以小數只有文字表示。例如，用T寸＝1表示6.21寸。到了13世紀，元朝數學家劉瑾把小數部分降低一格，比如將61.62表示為┴1┴＝，這是世界上最早的小數表示法。
　　1585年，比利時工程師斯蒂文（S.Stevin）出版了小冊子《十進小數》，比較系統地闡述了小數理論，并創建了一種表示小數的方法。他用小圓圈把整數部分與小數部分隔開，小數部分后面畫一個小圓圈，在小圓圈內標記小數的位數，比如將23.86表示成23?專8①6②或者23?專8①6②。［4］
　　小數點的記號，也經歷了比較復雜的過程。1530年，德國的數學家魯爾多夫（C.Rudolff）用一根豎線將小數部分與整數部分隔開，比如他將23.86表示為23｜86。1614年，英國數學家納皮爾（J.Napier）用逗號將小數部分與整數部分分開，比如23.86表示為23，86。1593年，德國數學家克拉維斯（C.Clavius）用“.”表示小數點，他是最早用小圓點表示小數點的人。
　　到19世紀末，小數的寫法還有很多種形式，比如，2.5就可以寫成25、2’｜5、2?5、2’5、2Δ5、2，5、2.5等。［1］現在，世界各國關于小數點的使用大體分為兩派：歐洲大陸派，以德國、法國和俄羅斯等為代表，將小數點用逗號表示，小圓點作為乘法的符號；英美派，用小圓點表示小數點，逗號用作分節號。我國對小數點的記法傾向于后者，用小圓點表示小數點。
　　（二） 小數的意義
　　從劉徽發明小數的思想來看，是按照整數的計數原則，將小于1的數也用類似于整數的形式表達出來。對此，20世紀知名數學家柯朗（P.Courant）進行了更深刻的闡述：“把一個單位區間分成10，然后100，1000等等個相等的線段，這樣得到的點對應著十進位小數。……一個十進位小數f，如果在小數點之后還有n個數碼，可以寫成f=z+a1×10-1+a2×10-2+…＋an×10-n，這里z是一個整數，而ai是表示十分之一、百分之一等等的數碼——0、1、2、…、9”。［5］
　　由此可見，小數的本質是整數的延續，都是十進制數。也就是說，以1為基本單位，向大小兩個方向延伸得到整數和小數：單位1向大的方向延伸，10個1構成十，10個十構成百，10個百構成千，……單位1向小的方向延伸，把1平均分成10份，一份就是0.1（相當于十分之一），再把0.1平均分成10份，一份就是0.01（相當于百分之一），……所以，一個十進制整數或者小數
　　np…n2n1n.m1m2…mq
　　=np×10p+…+n2×102+n1×101+n×100+m1×10-1+m2×10-2+…＋mq ×10-q
　　其中，ni，mi（i＝０，１，２…）為0～9這十數字之一。
　　小數的這一本質意義，體現了小數四則運算與整數四則運算的高度相似性和整數與小數表示數目的直觀性。
　　三、 小數的教學
　　“小數意義”的教學需要讓學生明白：小數的本質是十進制數，是整數的延伸，而不是分數的附庸。因此，教學的重點就是要讓學生理解“小數是自然數的單位1沿著小的方向延伸產生的數，相鄰計數單位之間的進率為10”。
　　（一） 類比引入小數
　　師：目前我國使用的人民幣中，最常用的單位是……
　　生：元。
　　師（出示一張１元的人民幣）：這是1元，如果三張這樣的人民幣就是……
　　生：3元。
　　師：10張這樣的人民幣是……
　　生：10元。
　　師（拿出一張拾元的人民幣）：一張拾元的人民幣就等于10張１元的。（拿出10張拾元的人民幣）這是……
　　生：100元。
　　師（拿出一張百元的人民幣）：一張百元的相當于10張拾元的，相當于100張１元的。拾元、百元都是比元更大的面值，有沒有比元更小面值的人民幣呢？
　　生：有，角和分。
　　師：角是怎么得來的？角有什么用？
　　生：把１元平均分成10份，每份就是1角，也就是“1元等于10角”。角表示比元更小的單位，就是不足1元時，可以用角來支付。
　　師：一個空礦泉水瓶子的價值為1角，一個作業本的價格為5角，用元作單位可以怎么表示？
　　生：分別是0.1元和0.5元。
　　師：6個礦泉水瓶的價值為多少元？
　　生：0.6元。
　　師：0.5元、0.6元里面有幾個0.1元？
　　生：5個，6個。
　　師：有比角更小的貨幣單位嗎？如果有，它是怎么得來的？
　　生：有，分。把１角平均分成10份，1份就是1分，也就是1角＝10分。
　　師：一張作業本紙的價值約為1分，一張A4打印紙的價值約為4分，一張創可貼的價值約為25分。如果用元作單位，它們可以表示為多少元呢？
　　生：分別是0.01元、0.04元和0.25元。
　　師：0.04元、0.25元里面有幾個0.01元？
　　生：4個，25個。
　　（評析：通過生活實例，學生認識到，人們在度量物體的時候，總把容易感知的量作為單位“1”，然后依據十進制發展出大數目的位置系統。然而社會生活中有時還需要比單位“1”更小的單位，人們還可以按照十進制的原則產生更小的單位。）
　　（二） 理解小數的意義
　　師（出示一把米尺，沒有刻度）：這把尺子的長度為1米，用它來測量課本的長度，行嗎？
　　生：不行，課本長度遠不夠一米，看不出長度。
　　師：怎么辦呢？
　　生：把它平均分成10段，每一段是0.1米，看看能不能測量？
　　師：（換了一把已經平均分成10份的尺子，并測量課本的長度為兩格）那么課本的長度是多少呢？
　　生：兩個0.1米，即0.2米。
　　師：現在用這把尺子來測量課本的寬度，可以嗎？
　　生（量一量，一格多一些）：不行。
　　師：那怎么辦呢？
　　生：把每一格分成10個小格，再來測量。
　　師：現在這把尺子每小格的長度是多少？課本的長度是多少？
　　生：0.01和0.15，0.15里面有15個0.01。
　　師：測量一下課桌的長度和寬度，看看結果是多少？并說明里面有幾個0.1和0.01？
　　生：長0.6米，里面有6個0.1，60個0.01。寬0.45米，里面有45個0.01，它里面有4個0.1還多一些。
　　師：根據前面這些例子，請你說一說，0.1和0.01是怎么從１得到的？
　　生：把1平均分成10份，每份就是0.1；把1平均分成100份，每份就是0.01，而且0.1等于10個0.01。
　　師：假如我想要表示0.001呢？
　　生：那就把1平均分成1000份，一份就是0.001。
　　（評析：根據實際需要，創造小數來度量物體的長度，以解決相關問題；通過現實體驗，啟發學生體味到小數是在已有數學概念不夠用的基礎上自然引進的，由此產生內在的學習需求，進而抽象概括出小數的意義。）
　　四、 結束語：重視對數學概念的真正理解
　　由于種種原因，小學數學教科書和教學參考書不可能把每個數學概念都表述得非常清楚和準確。當按照教科書上描述的概念進行教學時，如果發現學生在一些關鍵內容的理解上出現偏差，教師需要考慮一下教科書對該概念的表述是否準確。這時，教師可以查閱一下相關的權威書籍，或者了解一下該數學概念的發展歷史，以便準確了解所教數學概念的本質意義。如果發現教科書上對概念的表述不是十分準確，教師需要修正教科書上的錯誤，用適當的方式將準確的數學概念教授給學生。因此，無論是教師的教，還是學生的學，都需要對數學概念有真正的理解。否則，教和學的效果將會大打折扣。
　　參考文獻：
　　［1］　顧汝佐，葉季明，王明歡. 小學數學全書［M］. 上海：上海教育出版社，1995.
　　［2］　課程教材研究所. 數學（四年級下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2005.
　　［3］　張奠宙. 數學史選講［M］. 上海：上海科學技術出版社，1997.
　　［4］　范立瓅，高荊. 小學數學中最容易誤解的概念［M］. 北京：地質出版社，2008.
　　［5］　R?柯朗，H羅賓. 什么是數學［M］. 左平，張飴慈譯. 上海：復旦大學出版社，2005.
　　（首都師范大學初等教育學院　100048
　　山西省太原師范學院數學系　03001