該如何正確理解整數乘法的意義

　　《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下簡稱《課標（2011年版）》）第76頁上有這樣一個例題及“說明”：“例5　教室里有6行座位，每行7個，教室里一共有多少個座位？［說明］這個例子可以引導學生理解教室中的座位數是6個7的和，可以寫成：6×7或7×6。”
　　《課標（２０１１年版）》第17頁上還有這樣一段敘述：“結合具體情境，體會整數四則運算的意義（參見例5）。”由此可知，“例5”是為學生體會整數乘法意義而設定的，這個例題的作用與2001年出版的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（下簡稱《課標（實驗稿）》）第13頁上的一個“注釋”的作用相同，因此我們有必要先將“注釋”與“例5”進行比較。
　　一、 “注釋”與“例5”的比較
　　《課標（實驗稿）》第13頁上有這樣一個“注釋”：“關于乘法：3個5，可以寫作3×5，也可以寫作5×3，3×5讀作3乘5，3和5都是乘數（也可以叫因數）。”筆者曾在2004年第2期《數學教育學報》上發表文章指出：“注釋”存在三個問題。第一，“3個5”的意義不明確，應改為“3個5相加”。第二，“3個5，可以寫作3×5，也可以寫作5×3”（為敘述方便，這句話下面簡稱“規定”）的規定不合理。第三，“乘數”也可以叫“因數”的說法不妥。顯然，“例5”中已不存在第一個問題和第三個問題，但是“6個7的和，可以寫成：6×7或7×6”這句話與“注釋”中的“規定”實質是一樣的，我們不妨也把它叫做“規定”，這個“規定”同樣是不合理的。
　　二、 “例5”所引發的思考
　　1. 按照“例5”中的“規定”，小學生難以正確理解整數乘法意義
　　“例5”中規定“6個7的和，可以寫成：6×7或7×6”這就是說“6×7”和“7×6”都表示“6個7的和”，那么“7個6的和”又該寫成什么算式呢？若按“例5”中的“規定”，應該寫成“7×6或6×7”。這樣一來，“6個7的和”可以寫成兩個不同的乘法算式（6×7或7×6），而一個乘法算式（如6×7）又可表示兩個不同的加法算式（7個6相加，6個7相加）。如果要回答乘法算式“6×7”的意義，那就得說“它表示6個7相加，還表示7個6相加”“6可表示相同的加數，也可表示相同加數的個數”這樣的乘法意義，小學低年級的學生能理解嗎？而且“6個7的和”與“7個6的和”是否相等都沒有經過檢驗，就讓它們都用同一個乘法算式“6×7”來表示，這樣做顯然是不合理的。
　　在人教版數學二年級上冊“乘法的初步認識”教學中，教材利用加法算式3+3+3+3+3+3=18引出乘法算式“這樣的加法，還可用乘法表示：6×3=18或3×6=18”。一個加法算式為什么要用兩個不同的乘法算式表示？“6×3”和“3×6”為什么都表示6個3相加，又都可表示３個６相加？要正確回答這些問題，并使學生正確地理解整數乘法的意義很不容易。筆者不理解為什么棄用傳統的整數乘法定義（詳細的定義可參閱人民教育出版社1982年出版的《小學數學基礎理論和教法（第一冊）》），在那個定義中，a×b表示b個a相加，b×a表示a個b相加，當a和b中有0或1時，加個補充定義，整數乘法的意義表述得非常清楚，學生也能正確理解。
　　2. 按照“例5”中的“規定”，乘法交換律將不復存在
　　按照“規定”，“6個7的和”可以寫成“6×7或7×6”，由此可知，“b個a的和就可以寫成b×a或a×b”。由于“b×a”和“a×b”都表示“b個a的和”，于是a×b=b×a這個等式是由“規定”得到的，并沒有經過概括、推理或證明，因而不能叫做“乘法交換律”。在四年級學習“乘法交換律”時，教材利用創設的情境，要求學生計算4×25和25×4，發現積是相等的，于是得到4×25=25×4，然后再進行概括，并指出“交換兩個因數的位置，積不變”，“這叫做乘法交換律，用字母表示：a×b=b×a”。應該說，對小學生而言，用這種方法概括出“乘法交換律”23abd393a4099ade64f01f7370f8ed070a779e7e28ea3aea9242944319828a27是合適的（在人教版教材中“乘數”都叫做“因數”）。這里為什么要通過計算得到4×25=25×4，然后再概括出“乘法交換律”呢？其實，教材的編寫者仍然是按傳統的整數乘法定義來推理的，將4×25看做是25個4相加，將25×4看做是4個25相加，它們是否相等，需要用計算來驗證。如果按照“規定”中乘法的意義，4×25可以寫成25×4，a×b可以寫成b×a，根本不必用計算來驗證。
　　綜上所述，筆者認為“例5”中的“規定”是不合理的，它使學生難以正確理解整數乘法的意義，而且將使“乘法交換律”不復存在。然而也有不少專家認為這樣的“規定”是“體現了新的數學理念”。例如，在2005年第一期《數學教育學報》第29頁上有一篇文章的作者就認為：“《全日制義務教育數學課程標準》中的一個注釋所規定的正整數乘法交換律是合理的，可以適應小學生的思維水平，體現了鮮明的自由數學思想和創新教育理念。”“一個注釋所規定的正整數乘法交換律是合理的”這句話就值得商榷。因為作為一個數學定律的“正整數乘法交換律”不是規定的，它應該經過概括、推理或證明而得到。一個“規定”也不能稱為一個“數學定律”，因此，由“規定”而得到的所謂“乘法交換律”是不合理的，否則“乘法結合律”等數學定律也都可以“規定”了。至于說這個“規定”是“體現了鮮明的自由數學思想和創新教育理念”，那只好“仁者見仁，智者見智”了。
　　《課標（實驗稿）》和《課標（2011年版）》棄用了傳統的乘法定義，而分別用“注釋”和“例5”來使讀者體會整數乘法的意義。然而，不管是“注釋”還是“例5”，不僅沒有說清楚整數乘法的意義，反而使整數乘法的意義模糊不清，“規定”對學生解決乘法應用問題將會帶來負面影響，不利于學生思維能力的提高。事實上，整數乘法的意義不必在《數學課程標準》這樣的綱領性文件上用例題的形式給出。要修改傳統的整數乘法定義，應該用合適的途徑把修改后完整的整數乘法定義公布于眾。
　　期望同行對《課標（２０１１年版）》中“例5”進行共同探討，同時，也期望能夠看到一線教師介紹“乘法的初步認識”教學體會的文章。
　　（杭州師范大學初等教育學院　31003