運算意義·數量關系·解題策略

　　學生數學素養的高低，一個重要標志就是能否用數學的方法、策略、思想等去解決數學問題以至日常生活中的實際問題。因此，解決應用問題的教學歷來是小學數學教學的重要內容，發展學生分析問題和解決問題的能力也一直是數學教學的重要目標。在十年課改實踐與研究的基礎上，《數學課程標準（2011年版）》在總目標中提出“增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，將原來總目標中具體闡述目標的四個維度之一的“解決問題”改為“問題解決”，并對“問題解決”的目標進行了具體的描述：“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識；學會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識?！庇纱丝梢姡匾晫W生分析和解決問題能力的培養，《數學課程標準（2011年版）》與《數學課程標準（實驗稿）》是一致的。同時，《數學課程標準（2011年版）》更加重視學生問題意識的培養，在原有基礎上增加了“增強發現和提出問題的能力”的目標（這一問題另文再展開論述）。
　　新課程下的“解決問題”融合于“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用”四大領域的學習中，在教材編排、應用問題的呈現形式等方面都有了較大的變化，如新課程下的數學實驗教材在編寫“數與代數”領域的解決問題的內容時，淡化問題的類型，不以類型為線索，而是將解決實際問題作為數與運算學習的自然組成部分，具體按“問題情境—建立模型—解釋與應用”的過程展開，引導學生從問題情境與運算意義出發思考解決問題的策略。這樣的“淡化類型”的教學，能有效防止“機械照搬”、“套用解法”的現象，當學生遇到一個應用問題時，就不會把問題和類型相聯系，而是思考情境中的問題與數學意義的聯系，在解決問題過程中獲得解決問題的一般經歷與體驗，積淀解決問題的方法與策略，促進學生數學概念的理解和數學思維水平的提升，從而真正發展學生解決問題的能力。但實際的教學中，我們發現，很多教師把握不住新課程中解決問題教學的變化，如解決問題與運算學習結合教學，由于在很多內容中運算學習的目標更顯性（如算法的掌握、算理的理解），有的教師就難以把握解決問題的教學目標，甚至弱化了讀懂問題情境、分析數量關系、檢查與反思等解決問題過程的指導，導致了學生分析和解決問題的能力難以有效提升。
　　“解決問題”的教學該如何展開呢？教師又該如何幫助和指導學生增強分析和解決問題的能力呢？我們認為，教師要結合“情境理解，表征問題—分析數量關系，尋求解決方案—確定解決問題的方案并嘗試解決—檢驗、評價與反思”的解決問題的一般過程，關注學生解決問題的方法以及思考的過程，變“教解法”為“策略指導”，特別要重視運算意義理解、數量關系分析、解題策略運用的指導，引導學生在解決問題的過程中積淀解決問題的思路和方法，發展分析問題和解決問題的能力。本文主要以“數與代數”領域的解決問題教學為主，談發展學生分析和解決問題能力的幾個著力點。
　　一、 加強運算意義的教學，溝通數學問題與運算意義的聯系，以運算意義的理解提升學生分析和解決問題的能力
　　新課程下的解決問題教學，不再分類型教學，學生遇到一個應用問題時，就不再是聯系類型思考問題，而必須思考情境中的問題與運算意義的聯系。這樣，運算意義的理解對能否有效地分析數量關系起著關鍵的作用。因此，加強運算意義的教學，注意多種運算“模型”的滲透，注意溝通數學問題與運算意義的聯系，成為學生能否有效解決問題的關鍵。
　　首先，要加強運算意義的教學，讓學生充分經歷探索運算意義的過程，理解整數、小數、分數的加減乘除各種運算的意義。例如，整數加法意義的學習，北師大版教材一年級上冊的“一共有多少（認識加法）”一課，教材通過四個問題引導學生經歷加法意義的形成過程，其中問題1“一共有幾支鉛筆”和問題2“一共有幾只熊貓”通過兩組動態的連環畫情境，幫助學生體會“合起來”的過程，抽象出算式，從而初步理解加法意義；問題3“認一認”是在前兩個問題直觀體會加法表示“合起來”的基礎上，體會兩個情境雖然內容不同，但是表示的是同一件事情，都可以用“3+2=5”來表示，從而抽象出加法算式。再通過觀察淘氣寫出的算式，來引導學生認識加號以及算式的讀法和寫法；問題4“擺一擺，算一算”，通過結合圖示情境擺一擺學具，列出相應的加法算式，進一步鞏固加法意義的初步認識。
　　在加強運算意義教學時，教師還要通過情境的多元化幫助學生多積累一些運算的“原型”，也就是理解運算意義不是背出某句話，而是積累一些使用某種運算的例子，為學生理解數量關系以及實現順利“化歸”提供必要的“原型”支撐。例如，乘法的意義可以從“幾個幾”“面積”“倍數”“折扣”等方面來理解，這些運算意義的“原型”有：“六年級平均每班有38人，一共有6個班，六年級一共有多少人”“教室長8米，寬6米，教室的面積是多少”“我們班喜歡踢球的有8人，喜歡跳繩的人數是喜歡踢球人數的1.5倍，喜歡跳繩的有多少人”“一套衣服的原價為400元，現在打6折出售，現價多少元”等。在學生積累了比較多的運算意義的“原型”后，就能較好地理解運算“模型”的內在結構，如加法可以作為合并、移入、增加、繼續往前數等的模型；減法可以作為剩余、比較、往回數、減少或加法逆運算等的模型；乘法可以作為相等的數的和、面積計算、倍數、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型等。
　　其次，在具體解決問題時，教師要注意溝通運算意義與解決問題的聯系，促進學生對數量關系的理解。如這樣一個簡單實際問題：1只小象搬2根木頭，3只小象搬幾根木頭呢？學生中出現了三種算式：2×3＝6（根）；2+2+2＝6（根）；3×2＝6（根）。教師追問：2×3＝6，3×2＝6，你是怎么想的呢？一學生回答：一頭大象搬2根木頭，這里就是“3個2”，可以用“2×3”或“3×2”。這里通過教師的追問，引導學生溝通乘法算式與乘法運算意義之間的聯系。再如這樣一個問題：“蘇寧家電商場有電視機840臺，第一天賣出160臺，第二天賣出剩下臺數的。第二天賣出多少臺？”關鍵引導學生溝通“剩下臺數的”與分數乘法意義的聯系，根據分數乘法意義可以得出“剩下臺數×=第二天賣出的臺數”，從而列出算式“（840－160）×”。
　　另外，除了重視加減乘除等運算意義的教學外，一些概念的理解同樣也對解決問題起到很關鍵的作用，如分數、百分數、小數等概念以及比、正比例、反比例等概念的理解。
　　二、 加強數量關系分析的指導，引導學生經歷從“數學問題”到“用數學方法解決”的過程，以數量關系的有效建構提升學生分析問題和解決問題的能力
　　解決問題時，分析數量關系是從“數學問題”到“用數學方法解決”的關鍵。在學生用一定的方式表征問題后，要進一步引導學生分析已知數量與已知數量、已知數量與未知數量之間的關系，并綜合應用所學的知識解決問題。分析數量關系的能力是學生分析和解決問題能力培養的重要方面，需要教師在教學中特別關注。
　?。ㄒ唬?注重引導學生分析問題中最基本的數量關系的結構，凸顯數量關系的“大邏輯”
　　分析數量關系時，教師要引導學生注重問題中最基本的數量關系結構的分析，即關注題目中的“大邏輯”，如“總的數量－賣出的數量=剩下的數量”“男生人數+女生人數=全班人數”等。例如，“學校計劃購買120本筆記本獎勵給優秀學生，每本4.5元。王老師去購買時，營業員告訴他買100本以上的，每本可便宜0.5元。用同樣的錢，現在可以買多少本這樣的筆記本？”要凸顯最基本的數量關系結構：“錢的總數÷現在每本筆記本的價格=可以買的本數”。再如，“學校舞蹈隊有男生20人，如果女生人數減少，就和男生人數相等。學校舞蹈隊有女生多少人？”根據“女生人數減少，就和男生人數相等”，可以得出最基本的數量關系結構：女生人數×（1－）＝男生人數。對于比較復雜的數量關系，教師要引導學生利用畫圖、列表、實物演示等表征方式來分析問題的“大邏輯”，從而有效建構數量關系。
　　分析數量關系時，教師要注意數量關系的建構要結合具體的問題情境，除了“路程、時間、速度”和“單價、數量、總價”等常見的數學模型有必要進行概括外，其他的數量關系不一定要高度抽象概括，避免程式化。如這樣一個簡單的數學應用問題：三年級有36人參加植樹勞動，每組3人，可以分多少組？具體敘述數量關系時，只要學生能用自己的語言說出“總共36人除以每組3人等于可以分幾組”即可，也可以逐步表達為“總共36人÷每組3人＝可以分幾組”，但沒有必要概括為“總數÷每份數＝份數”這樣比較抽象的數量關系，因為在實際的問題解決中，不會給問題貼上標簽，而是需要學生根據具體的情境進行數量關系分析。
　?。ǘ?引導學生表述解決問題的思路，提高學生數量關系分析的條理性
　　表述解題思路是展示學生思考問題過程的重要方式，能提高學生數量關系分析的條理性。教師應鼓勵學生表述解決問題的思路，特別是一些需要用兩步及以上計算解決的問題，更需要學生進行解題思路的表述。同時，教師要進行必要的指導，如引導學生用“先……再……”“根據……可以知道……”等語言來表述，提高學生語言表達的條理性和嚴密性，但也不要過分追求“形式化”，學生只要能把自己的思考過程說清楚即可，也應允許學生根據直覺、猜想、合情推理等表述自己的思考過程。如這樣一道題：“一條褲子的價格是18元，一件上衣的價錢是一條褲子的2倍。買這樣的一套衣服，需要多少錢？”學生表述了幾種不同的思路。思路一：先算出一件上衣的價錢，再計算一件上衣和一條褲子一共多少元；思路二：根據“一件上衣的價錢是一條褲子的2倍”，可以知道一套衣服的價錢是一條褲子的3倍，所以只要18×3就可以了；思路三：先算18×2得到一件上衣的價錢，再加上18得到一套衣服的價錢。顯然，這三種表述方式都是合理的。
　　在學生表述解題思路的過程中，教師要注意從學生的解題思路中了解學生分析問題的策略——直接轉換策略或問題模型策略，根據學生的實際情況調整教學。如這樣一個問題：“學校體育室共有30個籃球，四（1）班借了20個籃球，又還回來8個，四（1）班還有幾個籃球沒有還？”如果學生的思路這樣表述：共有30個籃球，借走了20個，算式是“30－20”，又還回來8個，所以算式是“30－20＋8”，這說明學生使用的是直接轉換策略，即只對題中的表面內容進行理解，只選擇問題情境中的數字和關鍵詞（多、少、一共，相差，比……多），再進行數字加工；如果學生的思路這樣表述：借走20個，還回來8個，所以沒有還的籃球數是“20－8”，“30”在這個問題中不需要用，這說明學生使用的是問題模型策略，即在理解各個信息之間關系的基礎上進行情境模型建構。在了解學生分析問題策略的基礎上，教師要進行有針對性的指導，引導學生關注信息之間、信息與問題之間的關系，抓住問題的“大邏輯”，提高學生運用“問題模型策略”分析問題的能力。
　　三、 重視解決問題策略指導，讓運用策略成為學生的一種習慣，以策略有效運用提升學生分析和解決問題的能力
　　在學生分析和解決問題的過程中，無論是問題表征還是數量關系分析，都需要一些解決問題的策略。但策略的培養需要持之以恒、循序漸進，根據小學生的年齡特點，我們認為畫圖、列表、模擬操作等策略應成為學生常用的策略，需要在教學中經常進行指導，逐步使運用這些策略思考和解決問題成為學生的思維習慣。
　?。ㄒ唬?畫圖策略
　　畫圖策略是利用“圖”的直觀來表征問題中的數量關系和數學結構，是最常用的一種解決問題策略，符合學生的思維特點。美國數學家斯蒂思曾說過，如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創造性地思考問題的解法。教學中，教師要鼓勵學生把“應用問題”畫出來，提高學生的通過畫圖分析問題的能力。
　　畫圖策略包括畫線段圖、示意圖等多種形式的圖。教學中，教師要引導學生在畫圖思考問題時，除了畫一些比較規范的線段圖外，還應該鼓勵學生畫自己的圖，只要能幫助學生思考問題，都應該進行鼓勵。如這樣一個問題：“光明小學圖書館新買科技書和故事書共560本，其中科技書本數的與故事書本數的正好相等，新買來的兩種書各有多少本？”學生畫出了以下幾幅圖。
　　從上面幾幅圖可以看到，無論是哪種形式的圖，都可以清晰地看出560本相當于一共有7份，一個比較復雜的分數問題也就迎刃而解了。因此，教師從低年級開始就應注意鼓勵和指導學生用圖表征問題，使學生逐步學會看圖、畫圖，使“用圖幫助思考問題成為學生的一種習慣”。
　?。ǘ?列表策略
　　列表策略也是一種重要的解決問題的策略。對于一些開放性問題或者需要用列舉法時，列表可以幫助學生整理信息，并利用表格進行分析推理。
　　例如這樣一個問題：“在一邊靠水渠處，用籬笆圍成一塊直角梯形菜地（如左圖），已知三面籬笆總長28米，籬笆怎樣圍時這塊菜地的面積最大，最大的面積是多少平方米？”
　　這個問題是引導學生運用對梯形的認識以及梯形面積等知識，尋找梯形的On5fntmOM7O+Ix+m+2EEcA==底、高、面積之間的關系，發現規律，建立數學模型。這個問題具有一定的開放性，對學生的思維要求也比較高，教師可以引導學生通過列表的方法嘗試（如右上表），逐步找出規律，以解決問題。
　　通過列表嘗試，逐步可以發現，當高為14米，上底與下底的和也為14米時，這塊菜地的面積最大，最大面積為98平方米，如（6+8）×14÷2=98（平方米）。學生在經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，能體會到用列表進行列舉的一般策略。
　?。ㄈ?模擬操作策略
　　模擬操作策略就是在解決問題的過程中，對于一些較復雜或難以理解的問題，可以用人或物模擬問題的情境，通過實物操作或動態模擬使語言敘述的問題變得生動具體，幫助學生理解和思考問題。如這樣一個問題：“小軍去游泳池游泳，他在泳道內游了兩個來回，共游了100米，這個游泳池的泳道有多長？”在這個問題中，對“兩個來回”的理解是解決mM+EOGpabVAcuNV8C7V0Ig==這個問題的關鍵，教學時可以讓學生走一走模擬情境，也可以用物體代替進行情境模擬，幫助學生理解“兩個來回”實際上就是4個泳道的長。模擬操作使問題變得直觀，能幫助學生理解問題情境，找到解決問題的思路。教師要經常引導學生學會用身邊的東西動手操作或模擬情境，幫助分析問題、解決問題。
　　以上是解決問題時常用的三種策略，“解決問題”教學要變“教解法”為“策略指導”，幫助學生在解決問題實踐中掌握這些常用的解決問題的策略。據相關研究表明，只要方法得當，9～12歲的兒童并不難掌握復雜的問題解決策略，困難的是“辨認有效使用策略的條件”和“從幾種策略中選擇特殊的策略”。因此，教師除了讓學生了解、掌握這些解決問題的策略外，更重要的是要讓學生知道一種策略什么時候是有效的，能從幾種可用的策略中選擇最恰當的一種，能正確地運用策略，逐步將解決問題策略內化為個人的數學素養，成為思考問題的一種習慣。
　　（浙江省嘉興市南湖區教研室　31400