關于“混沌理論”的教學研究

殷 春 英

(衡水學院 電子信息工程學院，河北 衡水 053000)

關于“混沌理論”的教學研究

殷 春 英

(衡水學院 電子信息工程學院，河北 衡水 053000)

混沌理論已經涉及到了社會科學、自然科學的各個領域，對混沌理論的理解顯得尤為重要，探究對混沌理論的教學方法擺在了每一位基礎理論工作者的面前，實踐證明，采用對比分析、結合實例和圖形的方法能產生較好的教學效果．

混沌理論；內在隨機性；初值敏感性；倍周期分岔

“混沌理論”是繼相對論、量子力學之后發展起來的又一新興的交叉學科．實踐證明，混沌現象無處不有，“混沌理論”幾乎遍及了各個領域，隨著計算機技術的發展，對“混沌理論”的研究也更加深入，如何正確理解“混沌理論”也直接影響到學生對實際問題的處理．本文就是探究“混沌理論”的教學方法，加深對“混沌理論”的理解，為后繼課程的學習、問題的探究打下堅實的基礎．

1 對比理解“混沌理論”所描繪的物理圖景

談到描述物體運動的物理景觀，大家首先想到的是“牛頓力學”，即，告訴我們運動規律和初始條件，我們就可以用求導的方法預見未來物體的變化規律，反之，如果知道當今的變化規律和初始條件，我們就可以用積分的方法推算出以前物理的位置和狀態．以“天體力學”為例，“天體力學”曾經是描述確定論的典范，蘊含著“一一對應”的關系，即當給定了一組確定的初值，就可以確定一條不變的運動軌道，由此就確定了此體系的過去和未來的變化規律，“牛頓力學”所描述的物理世界是一幅簡單的、靜態的、可逆的、永恒不變的自然景觀，是關于“狀態”的機械的自然觀[1]．

而我們面臨的真實的世界是復雜的，是一個動態的、不可逆的、隨機變化著的自然景觀，而“混沌理論”就是研究這種真實的物理世界，是一種關于過程的科學、演化的科學、動態的科學，即演化的自然觀．

2 突出“混沌理論”的特點

“混沌理論”不同于機械的自然觀，它描述的是一個復雜的、動態變化的自然界，所以，它要有自己的獨特性．

2.1 內隨機性

隨機性是指在一定的條件下，系統的某種狀態可能出現、也可能不出現．隨機性又分為內隨機性和外隨機性．如果系統的隨機性由系統的外部作用引起的，我們稱這種隨機性為外隨機性；如果系統的隨機性由系統的內部作用引起的，我們稱這種隨機性為內部隨機性．按牛頓力學的觀點來分析，一個確定性系統在不受外來干擾時，它自身是不會出現隨機性的，即只存在外隨機性．隨著現代科學技術的發展，人們發現，許許多多不受外部干擾的確定系統也存在隨機性的現象，即完全確定性的系統在不受外來干擾時出現的隨機性為內隨機性．也就是說，真實的物理世界不僅存在著外隨機性也存在著內隨機性，而內隨機性正是混沌的一大特征，它反映的是一個復雜的、動態的、真實的物理世界．

2.2 初值的敏感性

經典力學認為，只要研究對象的初始條件給定(同時邊界條件也給定)，經過運算可以求出方程的解，即研究對象隨后每時每刻的狀態也就隨之確定，我們稱這種系統為確定性的系統，換言之，由確定性系統所描述的物體的運動緊密地依賴于所給的初始條件．這就是常言的動力學系統的穩定性，它是一般動力系統中一個非常重要的概念．這里的穩定性是指系統受到微小擾動保持原有狀態的屬性或能力．

而“混沌理論”有所不同，如同人們所說的“天有不測風云”，就是指氣候系統對初始條件非常敏感，形象地來比喻就是“蝴蝶效應”：因為幾千公里以外一只蝴蝶翅膀的小小扇動，就有可能使得氣象學家無法預測幾星期之后的天氣情況，即產生不確定性．這種初值的微小差別將導致最終輸出的巨大差別的性質就是初值的敏感性．

2.3 混沌運動只能出現在非線性系統中

我們在以前只是涉及到線性系統即線性微分方程，也就是牛頓力學，只要給定了初始條件，解就確定了，不會出現混沌運動．

混沌的出現是由于系統有不同的流域和不止一個定點，在系統的條件適當時，它會在這些不同的流域之間來回地跳動，只有這樣才可能出現混沌，而這種在不同流域或幾個定點只能在非線性系統中才能出現．所以說，只有在非線性系統才可能出現混沌．

3 了解通向“混沌”的具體通道

前面已提到，混沌運動只能在非線性系統中才可能出現，而非線性是自然界中普遍存在的現象，所以科學家們認為“條條道路通混沌”，具體地說，至今為止，人們所了解的通向“混沌”的道路有：準周期過程、茹厄勒-塔肯斯道路、倍周期分岔、陣發混沌等，下面以倍周期分岔進入混沌為例，認識一下通向混沌的通道．

眾所周知，系統運動變化的有序狀態常常體現于它的周期性，但是，隨著條件的變化，系統的周期性就會發生變化，進行倍周期分岔，隨著分岔點的增多，系統就會喪失原來的周期性，而進入混沌狀態．

下面以受迫達芬方程為例來研究系統是如何由穩態進入混沌的[2]：

設：α=0.3,k=-1,μ=1則能求得此方程在相平面上的3個定點S、F1、F2，其中S是不穩定的，另2個是穩定的．計算機計算表明，初時條件不在陰影區的軌線最終都趨于右側的F2，初時條件在陰影區的軌線最終都趨于F1．這樣，整個的相空間就依賴定點被分成了不同的流域，不同流域的軌線將趨于不同的穩定點，到底趨于哪一點，由初始條件決定．如圖1．

圖1 達芬方程的定點和不同流域

將F繼續增大，系統繞焦點的振蕩出現分頻，即倍周期τ=2T，如圖 2(b)所示，它所對應的相圖軌跡如圖3(b)所示．

再繼續增大F，振蕩周期依次成倍變化，即τ=2nT，n是正整數．

在繼續增大F，當超過某一臨界值時，系統將從原來的流域跳到另一個流域，在另一焦點附近振蕩．同樣，這種振蕩也可能又跳回到原來的流域，在原來焦點附近振蕩．系統內部的微小變化或輕微的噪聲都會使系統從一個流域進入另一個流域，而且很難再按原來的軌道運動，出現了隨機性，我們把這樣的運動稱為混沌，如圖2(e-i)所示，它所對應的相圖軌跡如圖3(e)所示．

由此可見，當受迫達芬方程中的F不斷增大時，系統的振蕩周期由T變為 2T，隨機變為 22T，……，2nT，直至出現混沌，所以說，倍周期分岔是通向混沌的一條通道．

總之，對于“混沌理論”的教學，筆者采用的是從宏觀到具體，從具體到實例，通過計算機繪圖的講解方法，符合學生的認識規律，更有利于學生對知識的掌握．

圖2 達芬方程中F取不同值時的x-t曲線

圖3 相平面上的軌跡

[1] 黃潤生,黃浩.混沌及其應用[M].2版.武漢:武漢大學出版社,2005:15-17.

[2] 劉秉正.非線性動力學[M].北京:高等教育出版社,2007:132-136.

On the Teaching of “Chaos Theory”

YIN Chun-ying
(College of Electronic and Information Engineering, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)

Since chaos theory has involved every field of social science and natural science, the understanding of it appears especially important, and the exploration of the teaching method of chaos theory should be the work for every basic theoretical worker. Practice proves that adopting the methods of contrastive analysis and the combination of examples with graphs can have a better teaching effect.

chaos theory; inherent randomness; initial value sensitivity; period-doubling bifurcation

G642

A

1673-2065(2012)01-0102-03

2011-07-20

河北省教育科學研究“十一五”規劃課題(08020005)

殷春英(1966-),女,河北冀州人,衡水學院電子信息工程學院教授.

(責任編校：李建明英文校對：吳秀蘭)