例析數學知識的深層次理解

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(三門縣教育局教研室 浙江三門 317100)

例析數學知識的深層次理解

●祝敏芝

(三門縣教育局教研室 浙江三門 317100)

現今教學實踐中，教學模式、教學藝術愈來愈被教師所重視，情境設置可謂創意迭出、精彩紛呈，但很多教師忽視了對數學知識的形成與發展過程、知識之間的相互融合、數學的道理及思想方法的研究，以至于學生掌握的各個知識點相對孤立，整體性不強．無論是數學教學實踐還是教學研究，把握數學本質、深層次理解數學知識都是十分重要的．

深層次理解數學知識的涵義是廣泛的，至少應該包含以下3個方面：(1)明晰數學知識的背景、形成與發展過程，結合學生的生活經驗、數學經驗自然合理地詮釋新知識；(2)深刻理解數學知識的本質、結構體系，準確地把握數學知識的邏輯意義，感悟數學知識之間的融合；(3)挖掘數學知識蘊涵的思想方法，明晰數學的思維方法、研究方法，體會數學的智慧價值．當然，這三者之間又是相互滲透、密不可分的．

1 明晰數學知識背景，自然合理地詮釋新知識

任何數學知識都有一個萌芽、生長、發展的過程．“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，要詮釋一個新的知識點，首先要明晰知識背景及其發展過程．下面舉2個案例：案例1通過知識的橫向聯系類比提出；案例2通過知識的縱向聯系追溯知識的形成背景.

案例1橢圓概念的引入

取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，如上操作，畫出的軌跡是什么曲線？對比圓的定義作答，在橢圓形成的過程中，哪些量是固定不變的？哪些量是變化的？你能發現動點運動的規律嗎？類比圓得到橢圓的實踐操作可以讓學生感悟到軌跡生成是變與不變的辯證統一．歸納、提升并指導學生課外探究：動點軌跡通常通過定點(定直線)的距離(或其他的幾何量)及其四則運算為常數得到．

案例2弧度制的起源與發展

2 理解數學知識的本質及結構體系,感悟知識之間的融合

數學知識的形成與發展有內在的邏輯必然性，知識與知識之間也具有內在的邏輯結構．教師能清楚地指明與某一知識點相關的“知識群”，學生才能把握知識結構的本質，才會形成良好的數學整體觀．融合包括初等數學與高等數學的融合、數學各部分的融合、幾何觀念和算術觀念的融合、感性與理性的融合等．如向量的研究就融合了數量、結構及空間這3個數學基本領域．

案例3平面向量的概念及向量方法

“平面向量”第一節課的教學實踐往往表現為向量的形式化定義及幾個相關概念生澀地堆砌，尤其是單位向量與零向量的引入顯得有些蒼白、自由向量的描述很不自然．首先，這節課應該讓學生懂得認識、研究新對象的基本方法，即從具體背景中抽象出概念的共同特征—定性刻畫—定義—定量表示．如表示實數的數軸有3個要素：原點、單位長度、正方向.規定了“單位向量”、“零向量”，才有任意向量的大小表示．“相等向量”的規定表明數學中的向量是與起點位置無關的自由向量．從高等數學“向量空間”的理論結構去理解，相等向量、平行向量是研究等價類的需要，零向量是加法群里的單位元，相反向量是一對逆元．

向量方法的一般步驟是：幾何元素—向量表示—向量運算—幾何意義．向量及其運算結構充分展示了數量與空間這2個重要領域的完美融合．

例如，用向量方法證明：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直．

以已知平面為xOy面建立空間坐標系，在已知平面上取一組基向量e1=(a,b,0),e2=(c,d,0).設n=(x,y,z)為平面的法向量，則

n·e1=0,n·e2=0，

即

因為ac-bd≠0,所以齊次線性方程組只有零解，即n=(0,0,z)．因此，與平面垂直的方向只有一個，即過一點有且只有一條直線與已知平面垂直．

另外，平面向量的基本定理從數量上精確地詮釋了2條相交直線確定一個平面這一平面公理．如果從基本定理的角度去理解空間直線、平面之間的位置關系，會使直觀感知與理性思維渾然一體．如線面平行，直線只能與平面內的一個方向平行；線面垂直的直觀感知是這條直線與平面內的所有直線垂直，理性思維便是與平面內的2條相交直線垂直．誠然，要確定直線、平面在空間的位置，還需考慮向量的起點．向量是算術觀念與幾何觀念、感性與理性的完美融合．

3 挖掘數學知識蘊涵的思想方法,啟迪數學智慧

宏觀上的數學思維是一種策略創造，微觀上才是嚴謹的邏輯推理．正如日本數學家米山國藏所說：“在學校所學的數學知識如果不用會很快忘掉，然而唯有銘刻在心中的數學精神、數學思維方法、研究方法和看問題的著眼點，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益．”因此，挖掘數學知識蘊涵的思想方法，并將這些思想貫穿于數學教學的始終，才使學生懂得數學的道理、原理，才能讓他們從中獲得盡可能多、盡可能大的智慧力量．下文以方程思想中的消元(降維)方法為例，帶領讀者領略數學思想的強大力量．

案例4等差數列通項公式的推導

方法1a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，…,an=an-1+d=a1+(n-1)d.

方法2a2=a1+d，a3=a2+d，…，an=an-1+d，將所有式子疊加相消，得到an=a1+(n-1)d．

對于方法1，很多教師僅僅從式子的形式結構上理解，認為是一種不完全的歸納推理，需要用數學歸納法加以證明．方法2通過疊加將a2,a3,…,an-1相消，從而是嚴密的推理．殊不知，方法1本身就是樸素的、自然的數學歸納法，只不過是用簡約的數學符號語言進行了概括.當n=1時是正確的，由n=k時命題的正確性能推出n=k+1時的正確性，那么這個命題是正確的．如果將a1,d,n看作是已知數，那么a2=a1+d,a3=a2+d,…,an=an-1+d實質上是以a2,a3,…,an(即n-1元)為未知數的n-1個一次方程，方法1的推導本質上是代入消元，方法2是加減消元，消去a2,a3,…,an-1，解出an=a1+(n-1)d．從方程思想層面剖析，這個問題是正確的．

案例5簡單的線性規劃問題

如果我們設計問題：(1)利潤有哪些取值,如當(x,y)=(4,0)時,z=8；(2)在平面區域內取哪些值時，z也為8，顯然直線2x+3y=8在平面區域內的線段上的任一點對應的z值都相同；(3)取其他點利潤又有怎樣的分布規律，區域內與直線2x+3y=8平行的任一斜線段上的每一點取到同一個z值，然后分析z值的幾何意義．至此，合理自然地將二維的平面區域最值問題轉化為一維平行直線系的縱截距的最值問題．這是數形結合的思想方法，但是從根本上看卻是“降維”方法，這是通常中的奇巧，平凡中的不凡，可謂“大音希聲，大象無形”．

又如空間幾何體的三視圖，課本上有這樣一句話：“我們需要從多個角度進行投影，才能較好地把握幾何體的形狀、大小．”這句話的表述是不確切的.因為空間幾何體上任意一個點的位置由空間直角坐標系中的三維坐標確定，而三視圖是幾何體在3個坐標平面上的3個正投影，可以確定一個點的三維坐標，所以三視圖能精確描述空間幾何體的形狀與大小．在實際應用中，將三視圖作為制作實物模型的圖紙，這是三維空間到二維平面的轉化．

4 結束語

數學是充滿智慧、使人聰明的學科．它在啟迪學生智慧方面具有獨特的優勢和不可推卸的責任．在教學過程中，教師在關注教學方式、教學方法的同時，更要注重數學知識的背景及其邏輯意義，深刻領悟其中所反映的思想方法，挖掘知識所蘊涵的科學方法、理性思維過程和價值觀資源．深層次理解數學是艱辛而充滿智慧的過程，需要教師有“撥開云霧見月明”的透徹，有“一語天然萬古新，豪華洗盡見真淳”的悟性．本文力取弱水三千之一瓢，以期更多的教師“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之”．

[1] 克萊因.高觀點下的初等數學[M]． 吳大任，舒湘芹，陳義章，譯.上海：復旦大學出版社，2008.

[2] 章建躍．中學數學課改的十個論題(續)[J]．中學數學教學參考,2010(4)：2-6．

[3] 李昌官．在讀懂數學的基礎上教學[J]．數學通報,2011(8)：20-23．

[4] 李袆．學會追問“數學”——數學教師成長的重要階梯[J]．數學通訊,2011(11)：1-4.