“與拋物線有關的定點問題”課例與點評

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(樂清中學 浙江樂清 325600)

“與拋物線有關的定點問題”課例與點評

●施克滿

(樂清中學 浙江樂清 325600)

在新課程標準下，什么樣的數學課堂才是高效的數學課堂？高中數學復習課應該怎樣體現有效性？適逢溫州市馬玉斌名師工作室在我校舉行教學展示活動，我校高二數學剛好上到圓錐曲線的拋物線部分，于是筆者決定上一節關于拋物線復習的小專題公開課，選定的課題是“與拋物線有關的定點問題”.工作室全體成員對本節課做了精彩的點評，使筆者獲益良多，現整理如下與同仁分享.

1 課例

1.1 問題呈現，特殊猜想

問題已知拋物線y2=2x上2個不同的點A(x1,y1)，B(x2,y2),O為原點，滿足OA⊥OB，試問：直線AB是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

(學生在5分鐘內獨立思考、自我完成，之后進行小組討論交流各自的想法.)

教師：很好，對一般問題的思考可以先從特殊情況入手，進行合理地猜想，然后得到結果.現在，我們通過幾何畫板來檢驗這個猜想是否正確.

(教師演示幾何畫板，學生觀察圖像的變化，發現的確是過定點(2，0)的.)

1.2 4種方法論證，歸納問題本質

教師：盡管特殊法得到的結論是正確的，但是數學的問題是需要嚴格論證的，哪組同學有辦法進行證明？

生B：(解法1)先設直線的方程為

x=my+t(t≠0)，

然后將直線的方程代入y2=2x得到

y2-2my-2t=0，

于是

由OA⊥OB得

x1x2+y1y2=t2-2t=0，

得到t=2(t=0舍去).因此直線AB的方程變為x=my+2，過定點(2,0).

(教師板書解答過程.)

教師：生B的解答一氣呵成.在解答中，我們看到選擇直線方程時，生B設的是x=my+t(t≠0)，與習慣上設y=kx+b不同，能解析一下嗎？

生B：設x=my+t(t≠0)，包含了2種情況：當m=0時，x=t表示斜率不存在的直線，當m≠0時，表示斜率存在的直線.而y=kx+b僅表示斜率存在的直線，還要補上斜率不存在的情況.2種做法類似，都可以求解.

教師：生B的分析很有道理，在選擇具體的直線方程時，可以根據題目的意思進行靈活的選擇.從得到的t=2看，y1y2=-4應該是一個定值，可以驗證嗎？

(學生思考，討論，演算.)

生C：還是從問題的條件OA⊥OB入手，我們知道

教師：從解法1我們看到了直接設直線AB的方程是可以解決的.其他組有不同的解法嗎？

這樣直線AB的方程就可以設為

化簡得

(y1+y2)y=2x+y1y2=2x-4，

過定點(2,0).

(教師請生D板書解答過程.)

教師：生D也是緊緊圍繞直線AB的方程，用y1,y2表示，并且用到了剛才得到的y1y2=-4這一定值，解答過程簡潔明了.我們發現這2種解法都是設有多個變量的，生B設x=my+t(t≠0)，生D得到(y1+y2)y=2x+y1y2.能否只用1個變量使問題的解決更明了呢？

化簡得

(1-k2)y=k(x-2)(k≠±1)，

觀察發現當k=±1時也滿足，因此直線AB的方程為

(1-k2)y=k(x-2),

因此過定點(2，0).

(教師邊聽邊板書解答過程.)

教師：這也是一種常見的解法，將所有的關系用一個變量表示，集中處理，便于發現其中的聯系.

(此時，教師發現生F想發言.)

即

ty2+2mxy-2x2=0，

再轉化為

即

t=2.

(教師請生F板書解答過程.)

教師：這種做法實際上就是化為二次齊次方程求解，同時能將原來的問題進行等價處理，需要很強的化歸能力.很好！這樣我們得到了解決這類過定點問題的幾種常見解法，請同學們歸納一下.

生G：解法1:設直線AB方程x=my+t(t≠0)，轉化為x=my+2.

解法2:設點A,B的坐標，得到直線AB的方程

(y1+y2)y=2x+y1y2=2x-4.

解法3:設直線OA,OB方程，得到直線AB的方程

(1-k2)y=k(x-2).

解法4:先化為二次齊次方程，然后得到直線AB的方程x=my+2.

教師：從這4種解法中，我們發現最后都是要得到直線AB的方程，并且都是含有參數的.能將這幾個式子的特點更一般化嗎？

生G：寫成B1(x-a)+B2(y-b)=0，其中B1,B2可以是含有變量的值，而a,b是常數，這樣就可以得到直線過定點(a,b).

教師：很好.生G通過對這4種解法的分析，得到了一個具有一般意義的式子

B1(x-a)+B2(y-b)=0(a,b是常數).

1.3 一般推廣，深化理解

教師：我們知道，數學的很多問題都是可以進行一般化推廣的，這樣有助于我們對問題的深入理解.現在請大家思考剛才的問題，看看可以在什么情況下進行一般化推廣.

生H：可以將y2=2x一般化為y2=2px(p>0).

生I：將OA⊥OB改為kOA·kOB=a(a為常數).

生J：我認為點O也是可以改動的，比如y2=2px(p>0)上的一個定點D(x0,y0).

教師：很好!經過討論，可以把問題一般化為：

已知拋物線y2=2px(p>0)上2個不同的點A(x1,y1)，B(x2,y2),D(x0,y0)為拋物線上的一個定點，滿足kDA·kDB=a(a為常數).試問：直線AB是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

現在請大家試試看，能否解決這個一般化的問題？

(學生獨立思考、自我解答，小組交流討論.)

生K：(解法1)設直線AB的方程為

同時由kDA·kDB=a，得

生L：(解法2)設直線AB的方程為x=my+t(t≠0)，代入y2=2px(p>0)得

y2-2pmy-2pt=0，

再將y1+y2=2pm,y1y2=-2pt代入

代入直線的方程消去t，得到直線AB的方程為

教師：這是解決定點問題的2種一般方法.通過嘗試,我們發現前面采用的設一個變量k的方法和化為二次齊次的方法在這里都存在困難.

1.4 3種變化，凸顯本質

教師：從變化的角度上看，對于上面的問題我們僅僅是考察了定點問題的一個類型，即當kDA·kDB=a(a為常數)時的情況.現在進行更廣泛的思考，請大家圍繞定點產生的條件，即直線必須能化為B1(x-a)+B2(y-b)=0(a,b是常數)這種一般的結構進行思考.

(學生思考、討論，教師巡視，師生交流.)

生M：(變化1)我們考慮的問題是：

已知拋物線y2=2px(p>0)上2個不同的點A(x1,y1)，B(x2,y2),O為原點，且kOA+kOB=a(a為非零常數).

生N：(變化2)我們這樣思考：

生O：(變化3)我們考慮到當直線OA，OB的傾斜角滿足一定關系時也是可以的，正在進行中，結果還沒算好.

1.5 一般二次曲線的思考(課后繼續探究)

教師：大家的思考非常好，各小組的討論也很深入，M,N,O這3個小組的同學各給出了一個可行的變化，P小組的同學對今天研究的問題進行了一般化處理，推廣到任意的二次曲線，給整節課做了一個小結.希望大家課后繼續研究.

2 點評

2.1 選題典型，一題多解，一題多變

這是一節小專題復習課，主要研究與拋物線有關的定點問題.從一個具體問題出發，先考慮特殊情況，得到定點；然后從設點、設直線的方程、設斜率、化為二次齊次式等幾個方面進行論證.選擇的問題非常典型，學生給出的方法也很有代表性，課堂上注重一題多解，重視培養學生從不同的角度分析和處理問題的能力.

2.2 學生積極參與，問題解決層層遞進

新課標指出“必須關注學生的主體參與、師生互動”.本節課教師提供了足夠多的機會讓不同層次的學生有不同的表現，教師以表揚、贊許等情感語言和鼓掌、微笑、點頭等肢體動作，多角度、多方位激勵學生，使得原本困難的問題很好地解決，并從多角度對問題進行發散.特別是最后學生小組自我改編問題，從幾個不同的角度研究定點問題，將本節課的教學推向高潮，同時教師能將問題的本質在解答過程中給予揭示，有利于問題的解決.教師這樣做的目的是培養學生的理性精神和創新意識，為今后的學習和生活播下優質的數學思維種子.

3 自我反思

(1)本節課課堂容量大，需要學生有快速的反應，但是在教學中為了后續問題的展開和深入，常常是看到學生有想法了，就直接請學生回答，使得其他學生沒有足夠的思考時間.在講解問題時，沒能讓學生充分展示解決問題的思維過程，有些可惜.

(2)原來的教學設計中沒有解法4(化為二次齊次式)，但是學生提出來而且漂亮地解決了，這是課堂中自然生成的.若教師能夠說明怎么樣的式子適合二次齊次結構，比如可以舉一個例子：已知sin2x-3sinxcosx+1=0，求tanx.可以將式子化為

2sin2x-3sinxcosx+cos2x=0，

這就是一個二次齊次式，再由2tan2x-3tanx+1=0得到tanx.這樣學生將更明白這樣一種結構.

(3)在問題解決的過程中，請的都是一些有成熟想法的小組，而很多學生沒有把錯誤思維暴露出來，這樣就失去了一個糾正錯誤的機會.其實在教學中更多的是遇到挫折，更重要的是讓學生意識到錯在何處、如何改正，這樣的印象會更加深刻，才會避免錯誤再次發生.本次課看似非常順利，但是學生深層次的思維過程沒有完全暴露，就使得很多錯誤的想法被埋沒了，這是值得教師重視的.