數列不等式證明之“四步九法”

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(大慶市實驗中學 黑龍江大慶 163316)

數列不等式證明之“四步九法”

●姜本超

(大慶市實驗中學 黑龍江大慶 163316)

數列綜合題是數學高考中的熱點和難點之一，“技巧性強、難度大、題型多、方法多樣性”是數列不等式問題的最大特點.筆者對大量問題進行研究，將證明數列不等式問題歸納為“四步九法”.

解題步驟為：

第1步：觀察題干，確定數列的類型：等差數列、等比數列或遞推數列;

第2步：求出數列的通項公式或者遞推關系式;

第3步：觀察結論的結構(重點);

第4步：結論驗證.

方法1數學歸納法

利用數學歸納法證明數列不等式是常見的數學方法，通過尋找第k項與第k+1項的關系加上適當的放縮，達到證明目的.

從而

方法2巧用函數不動點

充分運用函數的相關性質是解決數列不等式問題的著手點和關鍵，與遞推關系對應的函數不動點決定著遞推數列的增減情況.利用函數不動點證明遞推數列增減性的過程中常伴隨著數學歸納法的應用.

利用數學歸納法證明:當a0>2時，有an>an+1>2成立.

方法3利用數列單調性

數列中的參數問題，常用數列的單調性進行解答，題型大致分為2類：一類為已知數列的單調性求解參數范圍；另一類是不知數列的單調性，求參數范圍，此類問題中常含有恒成立問題.

例3已知各項均是正數的數列{an}的前n項和為Sn，滿足(p-1)Sn=p2-an(n∈N*，且p>0,p≠1),數列{bn}滿足bn=2logpan.

(1)求數列{an},{bn}的通項公式.

分析(1)由已知易得an=p2-n,bn=4-2n.

方法4裂項放縮

(1)求數列{an}的通項公式；

分析(1)根據遞推關系易得an=n.

方法5等比放縮

等比放縮是將數列的通項放縮為等比數列通項的形式，這樣可以求出該數列的前n項和.等比放縮在高考中應用非常廣泛，常和裂項放縮、迭代放縮和數學歸納法相結合，是解決數列不等式最常見的方法，在很多高考題中都有體現.筆者僅以2006年福建省數學高考理科第22題為例進行說明.

例5已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).

(1)求數列{an}的通項公式；

分析(1)由特征根法求得an=2n-1(n∈N*).

又

得

方法6迭代放縮

迭代放縮指的是利用已知遞推關系進行迭代從而達到放縮的目的，常和等比放縮相結合，將通項轉化為等比數列通項的形式再進行求和證明.

(1)用數學歸納法證明：an>2(n∈N*).

分析(1)略.(2)①略.

a1+a2+a3+…+an<2n+1.

方法7整體放縮

上面的幾種放縮指的都是對數列的通項或數列中的一項進行放縮，一些特殊的題目在進行放縮時需要對連續的幾項同時進行放縮，大多數也放縮成等比數列的形式.

(2)求證：(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1(n∈N).

分析(1)略.

當n為奇數時， (-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1+(-1)nxn，

1+(-1)nxn=1-xn<1,(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1.

方法8導數放縮

導數放縮是一類導數與數列的綜合性很強的問題，題型特點多是利用導數證明一個不等式，在證明數列不等式時利用已證明的結論再進行證明或適當的放縮.

例8已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0).

(1)討論f(x)的單調性；

分析(1)略.

因此

方法9三角放縮

三角放縮是解決一類創新題型的方法，這類題型將三角函數與數列不等式相結合，常見的放縮方式為sinα<α

(1)0

分析(1)略.

1+an-1>1+a1(n≥2)，

即

由已知得

以上各種方法均為筆者的一點感想，解答中也僅給出了放縮的過程，數列不等式的放縮種類繁多，技巧性強，要想更好地掌握并非易事，需多加練習，及時反饋，總結歸納，靈活運用.