一類二元最值問題的解法探討

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(黃陂區第四中學 湖北武漢 430331)

一類二元最值問題的解法探討

●李紅春

(黃陂區第四中學 湖北武漢 430331)

題目若x2+2xy-y2=7(x,y∈R)，求x2+y2的最小值．

這是前不久筆者在高三復習資料上看到的一道試題，給出的已知條件是二次齊次式，既含有交叉項xy，又含平方差的形式，與通常見到的題目不太一樣．關于二元的最值問題，通常是借助消元，將二元轉化為一元問題來解決.在本題中，用x,y中的任何一個量來表示另一個量都顯得很麻煩，因此不少師生對此題一籌莫展.筆者對此題的解法作了一些研究，下面將解法展示給大家，希望能為大家以后解決此類問題提供一些借鑒！

思路1借助第三變量表示，將待求式轉化為第三變量的函數.

解法1由x2+2xy-y2=7得

(x+y)2-2y2=7.

點評此解法源于已知條件左邊能寫成2個式子的平方差，解答的關鍵在于由(x+y)2-2y2=7聯想到三角平方關系sec2θ-tan2θ=1，進而采用三角換元，將變量x,y統一為θ的函數，解答過程計算量較大．

解法2 設x2+y2=t(t>0)，令x=tcosθ，y=tsinθ，代入x2+2xy-y2=7得

t2(cos2θ-sin2θ)+t2sin2θ=7,

即

t2(cos2θ+sin2θ)=7,

得

顯然

故

點評和解法1從條件入手不同，解法2則是抓住待求式為平方和這一結構特點采用三角換元，解答簡單清晰，讓人耳目一新，可謂“此中有真意，欲辯已忘言”！

解法3 由x2+2xy-y2=7得

聯立求得

點評解法3的精妙之處在于已知條件能因式分解為2個一次因式的積，采用換元后便能將x,y統一為相同的變量．但若已知條件不能因式分解，解法也就“愛莫能助”了！

解法4 設y=kx，代入x2+2xy-y2=7得

(1+2k-k2)x2=7，

即

即

點評由于已知條件是齊次式，設y=kx后很容易用k表示x與y，實現雙變量的分離，將問題轉化為關于k的函數．解法4是解決這類問題的通法，大有“放之四海而皆準”的氣魄！

思路2構造含有某個量的一元二次方程，運用判別式法求解.

解法5 設x2+y2=u，則y2=u-x2，代入x2+2xy-y2=7得

2xy=7+u-2x2，

易知x≠0，于是

將式(1)代入x2+y2=u，整理可得

于是以x2為未知數的一元二次方程必有正根.由韋達定理知，2個根之和為正，2個根之積也為正，故方程的2個根若存在，則必都為正，當且僅當

Δ=16×(7+2u)2-4×8×(7+u)2≥0，

點評通過換元，巧妙地構造出以x2為未知數的一元二次方程，用判別式法求解，讓人有種“曲徑通幽處 ，禪房花木深”的意境！

整理得 (7-u)x2+(7+u)y2-2uxy=0.

由x2≠0，得

Δ=4u2-4(7+u)(7-u)≥0，

解得

思路3借助不等式相關知識求解.

解法7由題意得

x2+2xy-y2=x(x+y)+y(x-y)=7,

由柯西不等式得

72= [x(x+y)+y(x-y)]2≤

(x2+y2)[(x+y)2+(x-y)2]=

2(x2+y2)2,

點評對于含有多元的最值問題，運用均值不等式及其變形來求解已很普遍，新教材已將柯西不等式納入教學的重要內容，大家應努力掌握．解法7的關鍵在于將已知條件進行恰當的配湊，對學生的能力要求較高，但這正好符合高考“多一點想，少一點算”的要求．

思路4靈活借用其他數學知識求解.

解法8 令z=x+yi，則

z2=x2-y2+2xyi=7-2xy+2xyi,

于是

即

從而

點評待求式x2+y2即為復數z=x+yi的模的平方，而已知條件中-y2=(yi)2，這些都為借助復數解決問題提供了可能．新教材對復數這一章節的內容進行了理性回歸，這些都為利用復數工具解決問題提供了更廣闊的舞臺！

思路5 數形結合求解.

解法9引入新坐標系x′O′y′，設

則x2+y2= (x′cosθ-y′sinθ)2+(x′sinθ+y′cosθ)2=

(x′)2+(y′)2.

由x2+2xy-y2=7得

(x′cosθ-y′sinθ)2+2(x′cosθ-y′sinθ)(x′sinθ+

y′cosθ)-(x′sinθ+y′cosθ)2=7,

整理得

(sin2θ+cos2θ)·(x′)2-(sin2θ+cos2θ)·(y′)2-

2(sin2θ-cos2θ)x′y′=7.

即

由此可見在新坐標系下該曲線為焦點在x′軸的雙曲線，(x′)2+(y′)2表示曲線上的動點到原點距離的平方，由圖形可知(x′)2+(y′)2的最小值即為實半軸距離的平方，故

點評數形結合的思想是高中數學中重要的思想.本題待求式x2+y2很容易讓人聯想到曲線上的動點到原點距離的平方，只是曲線的形狀判斷要用到坐標旋轉等知識，學生只需體會到問題的本質即可．

思路6借助高等數學的知識求解.

解法10令f(x,y)=x2+y2，φ(x,y)=x2+2xy-y2-7，則

L(x,y;λ)=f(x,y)+λφ(x,y)=

x2+y2+λ(x2+2xy-y2-7)，

得

Lx′=2x+λ(2x+2y)=0,

(3)

Ly′=2y+λ(-2y+2x)=0,

(4)

Lλ′=x2-y2+2xy-7=0.

(5)

由式(3)，式(4)消去λ整理得

2xy=x2-y2,

(6)

聯立式(4)，式(5)得

開方后即得穩定點的坐標，故

f(x,y)min=x2+y2=

點評解法10需要具備一定的高等數學知識基礎，作為學生固然無需掌握.但對于教師，具備一定的高等數學功底和數學素養既有利于理解中學數學問題的來龍去脈，又有助于用高等數學思想、觀點、方法解釋和理解中學數學中的許多問題．

“一滴水雖小，卻能折射出整個太陽的光輝”．本文雖然只就一道二元齊次最值問題的解法進行了探討，但其中卻揭示了解決這類問題的普遍思想方法與技巧，可謂“秀枝一株”，學會了此題，解題中靈活運用便能“嫁接成林”！