用好課程資源 激發學生探究
——高中數學探究性教學的實踐與反思

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(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

用好課程資源激發學生探究
——高中數學探究性教學的實踐與反思

●劉鳳杰盧明

(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

數學的探究活動能促進學生將新舊知識進行有效地重組，獲得深切的感受與體驗，讓學生有一個自主建構知識的過程，學會學習，養成良好的學習、質疑和反思的習慣，增強創新能力．因此，數學探究是貫穿于整個高中數學課程始終的重要內容．筆者通過教科書上的一道解析幾何探究題(人教A版《數學》2-1第55頁)開展探究性教學，說明“用好課程資源，實施探究性教學”是值得廣大高中數學教師關注的新途徑．

1 案例

與課本中例2.2和例3比較，你有什么發現？

1．1 初步探究，解決問題

學生經過自主探究，很快得出了點P的軌跡方程，并發現“平面上，如果一個動點到2個定點連線的斜率之積為一個正的常數，那么這個動點的軌跡為雙曲線”這個更一般化的結論．

化簡得

師：誰能從本題中提煉出一般化的結論？

生：設A(-a,0)，B(a,0)(a>0),直線PA,PB相交于點P，且它們的斜率之積kPA·kPA=λ(λ為常數，λ>0)，則點P的軌跡是以A,B為頂點的雙曲線(不包括點A,B)．

1．2 比較探究，激發興趣

師：請比較例2．2和例3，在剛才得出的命題中，如果撤消對λ的取值限制，你又可以得出什么樣的結論呢？

學生思考以后，得到命題1,教師充分肯定了學生的發現.

命題1設點A(-a,0),B(a,0)(a>0)，直線PA,PB相交于點P，且它們的斜率之積是λ(λ≠0)，則

(1)當λ=-1時，點P的軌跡是圓

x2+y2=a2(x≠±a)；

(2)當λ<0(λ≠-1)時，點P的軌跡是橢圓

(3)當λ>0時，點P的軌跡是雙曲線

1．3 逆向探究，完善思維

師：如果已知點A,B是相應橢圓的長軸或雙曲線實軸的端點，那么又會有什么新的發現呢？

沉默片刻，許多學生發現了命題2,教師再次肯定了學生的發現．

命題2(1)圓x2+y2=a2上任意一點P與A(-a,0),B(a,0)連線的斜率之積kPA·kPB=-1(定值)；

1．4 拓展探究，提升能力

師：在命題2的結論(1)中，在圓的背景下，對于圓上的3個點P，A，B，滿足kPA·kPB=-1，你又有什么聯想？

生1：我認為對于圓x2+y2=a2上任意一點P來說，不僅是它與點A(-a,0)和點B(a,0)連線的斜率滿足kPA·kPB=-1，其實過圓心的任何一條直徑的2個端點與點P連線的斜率之積都等于-1(直徑所對的圓周角是直角)．

生2：我同意！我覺得還可以得出下列結論.

命題3(1)圓x2+y2=a2上任意一點P與該圓上關于坐標原點對稱的2個點A(x0,y0),B(-x0,-y0)連線的斜率之積kPA·kPB=-1；

限于篇幅，這里只提供結論(2)的證明．

證明設P(x′,y′)為橢圓上異于A(x0,y0)和B(-x0,-y0)的任意一點，則

1．5 再逆探究，另辟蹊徑

學生對上述命題及其證明都表示驚嘆，探究的欲望更加強烈．在經過前面的探究經歷后，學生的思維更加活躍，許多學生又得出如下命題：

命題4(1)設A，B是圓x2+y2=a2上2個不同的點，P是該圓上任意一點，且滿足kPA·kPB=-1，則直線AB過定點O(0,0)；

結論(2)和(3)的證明給學生帶來了麻煩，于是，教師讓學生合作嘗試證明，最后有學生給出了證明.限于篇幅，這里僅提供結論(2)的證明.

證明設P(x0,y0)為橢圓上異于A和B的任意一點，A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程y=kx+t，與橢圓方程聯立，得

(b2+k2a2)x2+2kta2x+a2t2-a2b2=0，

從而

t2-(kx0+y0)t=0，

即

t(kx0-y0+t)=0.

因為P與A,B不重合，所以kx0-y0+t≠0，故t=0，即直線AB過定點O(0,0)．

1．6 發散探究，勇于創新

教師充分肯定了學生善于思考和探究的品質，鼓勵學生作進一步的探究．此時，有學生發言.

生：我有一個問題：如果命題4中相應的定值發生改變，那么直線AB是否還過定點？

這一問，把教師也問住了，快下課時，教師坦然回答：剛才這個問題事先沒考慮過，把這個問題作為今天的課后作業，希望在下次課上能夠分享大家探究的成果．2天后，雖然大家沒有得到更一般性結論，但有豐厚的回報．有學生得出以下命題：

這里僅介紹學生給出的結論(4)的證明．

證明若A,B關于y軸對稱，不妨設A(x0,y0)，B(-x0,y0)，則

反之亦成立．

若A,B不關于y軸對稱，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程x=my+t與橢圓方程聯立，得

(a2+m2b2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,

從而

(λm2-1)y1y2+λm(t-a)(y1+y2)+λ(t-a)2=0.

將式(5)，式(6)代入，得

(λa2-b2)t2-2λa3t+a2b2+λa4=0,

即

[(λa2-b2)t-(λa3+ab2)](t-a)=0.

師：請大家回想一下以前做過的一道題目：

設A,B是拋物線y2=2px(p>0)上2個不同的點，O是該拋物線的頂點，且OA⊥OB，求證：直線AB過定點(2p,0)．

師：請對此題進行一般化的改造．

學生經過探究，得到以下命題：

證明設A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為

x=my+t,

與拋物線方程聯立，得

y2-2pmy-2pt=0,

從而

(λm2-1)y1y2+λmt(y1+y2)+λt2=0,

將式(7)，式(8)代入，得

2pt+λt2=0.

點評由教科書中的一道探究題，教師與學生一起做了這么一篇“大文章”，使人充分感受到了數學的創造美！在猜想與探究的過程中，學生的創新能力得到了培養，也讓教師領會到學生的巨大智慧和能量．今日之教學，教師的責任首先是要激發學生的探究興趣，點燃他們智慧的火花，釋放他們探究的能量，讓成功的喜悅伴隨著創造的全過程．

2 體會與反思

2．1 鉆研教材，合理利用課程資源

普通高中課程標準實驗教科書人教A版《數學》，試圖通過滲透以引導學生主動學習為核心的教學設計，達到引領教學方式變革之目的．即在每節教材中穿插“觀察”、“思考”、“探究”之類的欄目，提出問題，引導學生主動學習．以高中數學解析幾何內容為例，教材中一共安排了29個探究問題(包括探究與發現、信息技術應用)，其中必修2中有8個，選修2-1中有13個，選修4-4中有8個． 從大的類型分：一般探究問題有20個；探究與發現有4個；信息技術應用5個．這些探究問題既有針對具體內容的，也有針對思想方法的，還有針對特例、細節的，它們構成解析幾何的學習主線，形成思想內涵豐富的解析幾何的概念網絡，體現新課標理念，著眼于學生知識的形成和知識發展規律，著眼于培養學生的創新精神和實踐能力．

作為一名數學教師，應該領悟教材編者的意圖，課本“探究欄目”提供了一個集探究和文化于一體的完美平臺．由前面的案例可以看到，在日常教學中，合理地開發和利用課程資源，可以取得知識教學與能力培養兩不誤的效果．關于課本“探究欄目”這一課程資源的開發與利用，筆者有2點建議：(1)教師必須根據課本中探究題的類型，針對不同層次的學生，要有不同深度的探究設計；針對不同的教學內容，要有不同廣度的探究設計．(2)在注意教法層次性的同時，還必須注意教法的多樣性和開放性，給學生留下充分的活動時間與空間，培養學生的鉆研精神和合作精神，讓不同層次的學生都能學有所獲．

2．2 鼓勵提問，激發探究興趣

首先，要了解數學探究性學習的內涵.即學生圍繞某個數學問題，進行自主探究、學習，從中獲得知識、技能和態度的學習方式和學習過程，包括：觀察分析數學事實、提出有意義的數學問題、猜測探求適當的數學結論或規律、給出解釋或證明．其次，要明確學生的探究學習起源于對某個問題的興趣.空洞的說教并不能激起學生持久的探究欲望，正如愛因斯坦所指出的那樣:“興趣是最好的老師，它永遠勝過責任感．”唯有興趣，才是學生積極探究、主動學習的原動力．再次，要鼓勵學生提問．學生提出一個有價值的問題比回答出10個教師預設的問題更有價值．現實中，主動向教師提問題的學生并不多，即便有，問的也大多是作業中自己不能解決的問題．因此，教師必須把“發現問題，提出問題”的意識和能力作為學生探究能力培養的重點．此外，教師要善于把握時機，創設問題情境，把問題拋給學生，引導學生去質疑、去發現，可以有效地培養學生發現問題、提出問題的能力，學生一旦能夠提出問題，自然就有了探究的興趣．

2．3 把握角色，謹防假探究

在探究性教學的過程中，教師的角色就是一名“催產婆”，而不是先知先覺的“圣人”．在實施探究性教學的過程中，如果教師為了讓學生能夠順利地“猜出”教師需要的“答案”，將探究任務設計得面面俱到，過度引導學生朝某個方向探究，看起來學習過程自然流暢，其實是一種“假探究”．需要強調的是：探究需要給學生預留一定的思維空間和有一定難度的學習任務．當然，完全放任也是不對的，鼓勵學生自主探究，不等于讓學生脫離教師去單打獨斗，要知道探究的形成是基于一定的問題引領下，學生通過獨立嘗試，在解決問題的過程中實現的．至于問題的由來，自然很大程度上離不開教師的引導、啟發和指點．此外，在探究學習的過程中，教師能否為學生營造一個有利于促進學生探究活動深入進行的互動場，也是探究能否持續、獲得成功的重要因素．

總之，在中學數學教學中，引導學生開展探究活動，是培養學生創新精神和實踐能力的重要途徑，它有利于培養學生對數學的情感，增強學生學習數學的自信和克服困難的意志力；有利于培養學生自主意識和合作精神，促進學生的全面發展．作為一名數學教師，必須預以重視，并自覺踐行．