初中數(shù)學(xué)課后作業(yè)分層初探
——作業(yè)創(chuàng)新、打造學(xué)生解題的4個(gè)層次

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(南豐中學(xué) 江蘇張家港 215628)

初中數(shù)學(xué)課后作業(yè)分層初探
——作業(yè)創(chuàng)新、打造學(xué)生解題的4個(gè)層次

●徐忠

(南豐中學(xué) 江蘇張家港 215628)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，每天給學(xué)生布置適量的作業(yè)是深化知識(shí)、鞏固知識(shí)、提高學(xué)生思考能力和檢查學(xué)習(xí)效果的重要手段，也是復(fù)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合的主要形式，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).然而在同一班級(jí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)品質(zhì)參差不齊，若按統(tǒng)一的要求布置作業(yè)，會(huì)造成尖子生吃不飽，學(xué)困生跟不上.長期以往，會(huì)造成尖子生得不到更好的提高，學(xué)困生對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣.基于以上原因，幾年來筆者一直以“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”為目標(biāo)，對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行創(chuàng)新和優(yōu)化，即對(duì)學(xué)生的解題過程進(jìn)行4個(gè)層次的訓(xùn)練，取得了不錯(cuò)的效果.

層次1每天布置適量的基礎(chǔ)題和少量的中檔題給全體學(xué)生練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解.

例如在學(xué)完平行四邊形的判定定理后，布置了這樣一道習(xí)題:

圖1

習(xí)題1如圖1所示，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)都在對(duì)角線AC上，且AE=CF，聯(lián)結(jié)DE，BE，DF，BF，則四邊形DEBF是平行四邊形嗎？為什么？

筆者要求學(xué)生至少用2種以上的解法，并鼓勵(lì)學(xué)生最好分別用平行四邊形的4個(gè)判定定理解題.

反思讓學(xué)生用多種方法解基礎(chǔ)題，主要目的是讓學(xué)生掌握概念和定理的基本應(yīng)用,讓學(xué)生在潛意識(shí)中比較這些方法的優(yōu)劣，加深對(duì)它們的理解.在這個(gè)過程中不但鞏固了上課內(nèi)容，而且加強(qiáng)了知識(shí)之間的聯(lián)系，開闊了視野，提高了學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.

層次2在解完題目的基礎(chǔ)上，選出一部分易錯(cuò)和概念易混淆的題目，要求全體學(xué)生寫出解題過程中每一步所用的知識(shí)點(diǎn)，寫出這些問題的來龍去脈以加深對(duì)題目和知識(shí)點(diǎn)的理解.

例如初學(xué)幾何證明時(shí)，很多學(xué)生的證明思路不清晰，可要求學(xué)生在寫證明時(shí)，寫出每一步所用的知識(shí)點(diǎn)，鞏固和加深對(duì)知識(shí)的理解.

學(xué)生通過這些訓(xùn)練，對(duì)一些基本概念不再混淆.

反思基本概念和定理是解數(shù)學(xué)題的根本，很多學(xué)生做基礎(chǔ)題時(shí)容易出錯(cuò)，難題做不出，其根本原因是基本概念和定理沒有掌握好.通過這個(gè)層次的訓(xùn)練彌補(bǔ)了上一個(gè)層次的不足，夯實(shí)了學(xué)生的基礎(chǔ)，為學(xué)生后續(xù)發(fā)展提供了必要的條件.

層次3通過題目中給出的信息，訓(xùn)練學(xué)生能夠一眼發(fā)現(xiàn)解題方法的關(guān)鍵，并且能夠針對(duì)題目提出一些問題，成為真正的解題高手.

圖2 圖3

習(xí)題3如圖2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，M是CD的中點(diǎn)，且AD+BC=AB，求證：AM，BM分別是∠DAB,∠ABC的角平分線.

有的學(xué)生在作業(yè)反思中寫道：看到條件AD+BC=AB時(shí)，就馬上想到要延長AM和BC，利用2個(gè)三角形全等把AD，BC這2條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上(如圖3).同理也有學(xué)生想到延長AD和BM，方法同上.有的學(xué)生寫到：看到條件AD+BC=AB時(shí)，馬上想到可用中位線證明(如圖4).

圖4 圖5

還有2個(gè)學(xué)生想到把梯形ABCD繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)菱形來證明(如圖5),可想到菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角這個(gè)定理.在提出的問題中，有的學(xué)生提出可以證明∠AMB=90°,有的提出可以證明S△ADM+S△BCM=S△ABM.還有學(xué)生提出當(dāng)梯形ABCD是直角梯形(∠ABC=90°)時(shí)，△ABM是等腰直角三角形等問題.

反思達(dá)爾文的名言“最有價(jià)值的知識(shí)是方法的知識(shí)”，教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)和應(yīng)用知識(shí)去思考和分析問題.通過這個(gè)層次的訓(xùn)練，讓學(xué)生通過題目中給出的信息，采用分析法和綜合法分析問題，找出解決問題的思路和方法，并根據(jù)題目的條件提出一些問題，這些都是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、優(yōu)化學(xué)習(xí)過程、提高學(xué)習(xí)效率的主要方法.

層次4能夠理清題目的諸多變化，探究題目的數(shù)學(xué)思想方法，提高解決問題的能力，做題目的主人.

對(duì)于班內(nèi)一些數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生，前面3個(gè)層次的訓(xùn)練遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能夠滿足他們的需要，因此在教學(xué)中筆者有意識(shí)地讓這些學(xué)生去研究題目，改編題目，探究題目的本質(zhì)，真正成為題目的主人.

習(xí)題4如圖6，在正方形ABCD中，邊長AB=4，M是邊AD上的一點(diǎn)，ME⊥AC，MF⊥BD，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，那么ME+MF=________.

圖6 圖7

學(xué)生做完這道題目后進(jìn)行了如下改編.

變式1如圖6，在正方形ABCD中，邊長AB=4，M是正方形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ME⊥AC，MF⊥BD，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，那么ME+MF=________.

變式2如圖7，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M是矩形ABCD邊AD(或AB)上的一點(diǎn)，ME⊥AC，MF⊥BD，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，那么ME+MF=________.

也有學(xué)生把變式2中的矩形換成菱形，換成平行四邊形，發(fā)現(xiàn)這2條線段之和在變化，不是定值.因此有學(xué)生發(fā)現(xiàn)所求結(jié)果與等腰△AOD的面積和腰有關(guān)，于是有學(xué)生就進(jìn)行了如下改編.

圖8 圖9

變式3如圖8，在等腰△ABC中，BC=AC=5，AB=6，D是等腰△ABC底邊AB上的任意一點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是點(diǎn)E,F，那么DE+DF=________.

變式4如圖9，在等腰梯形ABCD中，OB=OC=5，BC=6，E是等腰梯形ABCD底邊BC上的任意一點(diǎn)，EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分別是點(diǎn)F，G，那么EF+EG=________.

變式5如圖10，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=5，AD=3，BC=9，E是等腰梯形ABCD底邊BC上的任意一點(diǎn)，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分別是點(diǎn)M，N，那么EM+EN=________.

圖10 圖11

最后學(xué)生總結(jié)：這類動(dòng)點(diǎn)題目的共同特點(diǎn)是都在等腰三角形或者等腰梯形中，都是用等積的思想解題.再如：

習(xí)題5如圖11，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE是圓O的直徑，求證：∠BAD=∠CAE.

圖12 圖13

這道題目學(xué)生想出了很多解法，如聯(lián)結(jié)BE或者CE，利用直徑構(gòu)造直角三角形解題;有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作AE的垂線可以利用垂徑定理解題，如圖12,由垂徑定理可知∠ACF=∠ABC，于是很容易得出∠BAD=∠CAE；又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)過點(diǎn)B作AE的垂線也可以利用垂徑定理解題；接著又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)過點(diǎn)A，E作AE的垂線也可以解題.于是有學(xué)生大膽猜想：過直徑AE上任意一點(diǎn)作垂線都能解題(如圖13).因?yàn)椤螧AD+∠ABC=90°，利用垂徑定理知∠ABC=∠AFM+∠FMC，所以∠BAD+∠AFM+∠FAC=90°.又因?yàn)椤螩AE+∠AFM+∠FAC=90°，所以∠BAD=∠CAE.學(xué)生通過探索總結(jié)出解題的關(guān)鍵和通法，對(duì)圓的知識(shí)掌握得就更深刻了(除了探索到通法外，還有其他解法就不一一列舉了).

反思學(xué)生通過對(duì)這些題目的探索，用不同的思路、從不同的角度找出各種解題方法，然后總結(jié)方法，找到規(guī)律.還通過改編題目，理清題目的諸多變化，對(duì)題目進(jìn)行大膽的猜想、有效的探索，激活了創(chuàng)新潛能，使自己不僅學(xué)到新知識(shí)，而且培養(yǎng)了實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.

數(shù)學(xué)新課改的基本理念是“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.對(duì)學(xué)生作業(yè)進(jìn)行分層，使教師的著眼點(diǎn)面向了全體學(xué)生，使各類學(xué)生都有所學(xué)、有所用、有所提高，并且給每個(gè)學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)自主學(xué)習(xí)、自主鉆研的舞臺(tái)，促進(jìn)了學(xué)生個(gè)性的發(fā)展.在層次1和層次2的練習(xí)中，主要目的是讓每個(gè)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，為后面2個(gè)層次服務(wù).通過層次3和層次4的訓(xùn)練，讓學(xué)生悟題、解題、研題，發(fā)散了學(xué)生的思維，在練習(xí)中讓學(xué)生定位自己所在的層次，并且努力向更高的一個(gè)層次邁進(jìn)，促使學(xué)困生向?qū)W良生轉(zhuǎn)化、學(xué)良生向?qū)W優(yōu)生轉(zhuǎn)化，學(xué)優(yōu)生則更優(yōu).在層次3和層次4的訓(xùn)練中，筆者把學(xué)生的研究成果、各種思考方法都貼在教室的問題角上，讓每個(gè)學(xué)生進(jìn)行交流、討論，在合作中共同提高.

總之,對(duì)作業(yè)進(jìn)行分層是因材施教的一種模式，體現(xiàn)了“絕不放棄每一個(gè)學(xué)生”和“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育思想，有利于每個(gè)學(xué)生的終身發(fā)展.