真正的反思是無痕的投入
——記一道題目的反思歷程

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(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

真正的反思是無痕的投入
——記一道題目的反思歷程

●劉海亞

(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

新課程實施以來，很多教師對解題的方法和方式進行了反思，筆者認為這些反思大都從數學的角度或者方法的角度進行，它依然帶著程序的面孔，走進它并不容易．特別是對于文科學生,他們喜歡有詩意的東西，不愿意接受說教式的反思.因此，如何和著文科生的思維節拍，達到解答題目和心靈快樂的雙重效果，在本屆高三文科班的數學教學中，筆者做了一些有益的嘗試．

1 出乎意外，它是難題

例1過點F(1，0)的直線l交拋物線C：y2=4x于點A，B，記拋物線C的準線為l，設OA，OB分別交l于點M,N，△AOB與△MON的重心分別為點G,H，求|GH|的最小值．

這是筆者所在學校數學期中考試的一道題目.全校406名學生參加考試，完全做對的只有36人．這些學生都用直線和圓錐曲線方程聯立的方法來解，運算熟練者勝．數學教學有時就像練習游泳一樣，能游也要游，不能游也要扔下去游，在游泳掙扎中學會游泳的思想在一定程度上還是存在的．但這樣的游泳，心理成本和時間成本都太大，很容易讓游泳者失去快樂，也難以培養勇者的豪邁．筆者決定順著學生的心靈節拍，對這個題目進行反思．

2 激發共鳴，整裝上路

學生的常規解答如下：

設直線方程為y=k(x-1)，點A,B的坐標分別為(xA，yA)，(xB，yB)，聯立y2=4x，得出一元二次方程

k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

得

由直線OA，OB的方程分別算出點M,N的縱坐標，然后得出點G,H的坐標(xG，yG)，(xH，yH),其中

從而

師：下面就考試出現問題的情況作一下“焦點訪談”，請你用最真實的語言陳述，感謝你對數學的誠懇．

(教師就3類典型的解答作現場訪談．)

生1：直線和圓錐曲線聯立，思想方法簡單但運算不簡單，我不喜歡這樣的死板，在平時也沒有投入過，想想考試的時候練一次就夠了，但考試時就無所適從了．

師：感謝你的真實，心不順則行不從，這個同學堅持內心的做法值得支持，但題目到底是怎么死板的，這值得思考．

生2：我覺得吧，直線和圓錐曲線這種模式要會用，所以在考試的時候照流程下來，但又很不自信，一方面怕投入了很多還是得零分，另一方面又放棄不了這個題．很多步驟上要猶豫，很費時間．最后心就亂了，做了一部分就放棄了．

師：這個同學說的是沒有跟這個題目“交心”，什么樣的“交心經歷”才能對自己放心呢？

師：本次考試還是有很多同學很勇敢，算的時候是“豁出去”的，打算一條道算到黑，運算了這么久，都希望自己的答案是正確的對么？那怎樣可以降低答案的錯誤率呢？

(學生思考.)

生4：老師，點G，H的縱坐標是一致的，線段GH的長度就由它們的橫坐標差決定，而點G的橫坐標為定值，因此只要點H的橫坐標最小就可以了，點H的橫坐標取決于xA+xB.由圖像可知過焦點的直線在旋轉過程中,點F右側的線段總比點F左側的線段長，從而線段AB的中點必在點F的右側.只有當直線垂直時，即中點在點F處時，點H的橫坐標最小，此時y軸把矩形ABMN對分成兩半，因此答案是-2xH.

學生們的心情逐漸明亮，題目總是沒有他們想象中那么“死板”，他們漸漸地安靜下來，有的在消化別人的理解，有的在尋找新的發現……

師：剛才我們利用直線和拋物線的位置關系來求解，從解答中能看出這個題目有什么特別的地方嗎？

生4：老師，我覺得這里點G，H的縱坐標是一致的比較特別，但我不知道是什么原因？

生5：老師，我覺得直線方程可以設為x=my+1，因為這個方程包含了所有符合條件的直線，這樣可以防止忘記討論直線的斜率問題.

學生5在實物投影儀下呈現他的解法：

設x=my+1，y2=4x，聯立方程得

y2-4my-4=0，

從而

yA+yB=4m，yAyB=-4.

由直線OA，OB的方程分別算出點M,N的縱坐標為

學生開始熱鬧起來，在接受了第一種解法后還發現有更好的解法，他們開始覺得自己在考試時高估了題目的“威力”.

3 品味題性，別有題天

師：很好！這位同學利用yAyB=-4有了驚人的發現，這太美妙了，我們把圖像畫出來(如圖1)．因此形式復雜的數學問題其實是很美麗而富有詩意的，就看你有沒有水平領它們出來展示給我們看了．

教師進一步提問是什么原因使得yAyB=-4，學生說過x軸的定點(1，0)，在獲得一元二次方程時目測就能看到直線方程中的常數1被保留下來了．

圖1 圖2

師：如果直線過點(2，0)，那垂線要怎樣能夠得到yM=yB，yN=yA呢?

生6：現在yAyB=-8，直線方程不變，因此取x=2就能得yM=yB．

師：你能推廣到一般情況嗎？

生6：假設直線l過點(a,0)，直線x=-a垂直x軸，則直線直線OA，OB與x=-a的交點M,N的縱坐標依然和前面一樣．

師：很好!我們把剛才的發現作為AB(學生名字)定理，恭喜你收獲數學的巨大發現．

學生們沸騰了，有學生說這種方法也可以證明AB定理，看來幾何的直觀非常受學生歡迎．

師：很好!這個同學為我們帶來了運算便利，大家感謝你．現在我們請他來講述一下最簡單的運算過程．

(學生很自豪，不再贅述.)

從學生輕松愉悅的表達中，筆者知道他們已經懂了．這節課下來，筆者也很開心，上課之前的憂郁少了，課中的開心多了，課后的信心滿了，在不知不覺中，對于實踐開放式思維，筆者已經從需要自己打氣的勇士走向一個自然的鎮守者了．

4 不曾預約，美麗翩至

課后有個學生問：“老師，課上我們推廣到了AB定理，您看我能不能把這個定理推廣到y2=2px?”筆者意識到學生的心被數學打動了，馬上回答：“你想到這么好的問題多不容易啊，要是被我解決了太可惜了，要不把自己的想法驗證一下，有結果了我來鑒定，如果你連結果也鑒定了，那就告訴我一聲．”過了半天，這個學生迫不及待地帶著問題和解答來找筆者.

問題過點E(a,0)的直線l交拋物線C:y2=2px于點A,B，設OA,OB分別交x=-a于點M,N，△AOB與△MON的重心分別為點G,H，求|GH|的最小值．

解設直線方程為x=my+a(a>0)，與y2=2px聯立得

y2-2pmy-2pa=0,

從而

令x=-a，則

同理可得

yN=yA.

故

當且僅當xA=xB時，|GH|取得最小值.

新問題：為什么最小值會與p無關呢？

消去m，得到

5 興奮過后，思考感悟

在這節課中，學生的發展高度是教師不曾預設的．以前教師的感受是學生在一定程度上還存在的“刺激—反應”式解題的麻木和順從，沒有思維活力的他們缺乏創造力，也帶給教師心靈的疲憊．慶幸的是在教師的引導下，教師和學生的心靈感受對接，和學生的經驗對接，對低水平的學生學會傾聽他們的感覺，然后一步步告訴學生該如何去發現這種感覺的邏輯指示是什么.“難”意味著要品味題目的個性，“繁”暗示著尋求別的方向或者視角，新的疑問意味著原問題的解決高度有保障．新的視角又帶來新的個性解讀，帶來新層面的疑問解答，反思的不僅是題目，而是該題目隱藏的知識能力系統．學生也想不到自己的不良感受會有這么多的出路，下意識地投入自我對話中，思維品質便自然提升．對涌現過程中的高水平學生，教師要求他們與教師的研究經驗對接，品味什么是好問題，品味如何把握興奮帶來的壓力，把邏輯思維進行下去．再看這些學生的體驗對周圍學生的觸動，從一下課就熬不住想研究到寫條告訴自己如何規劃時間研究，再到展示研究成果，學生們感受著激動、成就和成長，這種同伴的自我效能啟示對一個班級的影響力是巨大的！

同時，教師自己也很幸福．對于這樣一個題目，教師心中有許多的結論，但從學生的視角看到了如此生動的風景，這種風景會滋養一個教師的淡定與高遠，修煉自然順應學生心理的能力，讓他們無痕地投入解題和反思，收獲一個知識、能力及情感的三維系統．

(本文系2011年紹興市教改項目：“逾越文科生圓錐曲線教學困難現狀的策略研究”的研究成果)

[1] 章建躍．做題目，為什么?[J].中小學數學：高中版，2011(6)：50.

[2] 余文森．有效教學十講[M].上海：華東師范大學出版社，2009.