數(shù)學(xué)審題的案例分析

2012-11-07 02:39:17

中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2012年7期

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(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院陜西西安 710062)

數(shù)學(xué)審題的案例分析

●羅增儒

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院陜西西安 710062)

審題就是從題目本身去尋找“怎樣解這道題”的鑰匙，也叫做弄清問題或理解題意．

成在審題、敗在審題，誰都知道審題具有“事關(guān)成敗”的重要性，沒有審題的開頭就沒有解題工作的后續(xù)，沒有審題的明晰就難有“思路探求”的成功．但是，筆者在與學(xué)生接觸的過程中越來越感到，學(xué)生在解題上的不成功常常可以追溯到“題意未審清或?qū)彶磺濉钡慕忸}起點上，行動是盲目的．那么，怎樣才算審清題意？教師什么時候教過學(xué)生“審什么、怎么審”呢？這恐怕又是一筆糊涂賬！課堂上常見的情況是：出示題目之后立即就討論解法，獲得解法之后就迅速進入下一道題．其實，學(xué)生在“如何理解題意、怎樣尋找思路”上是“想知道很多而又有很多不知道”，至于“對初步思路的反思”，則十有八九都被“解題教學(xué)的現(xiàn)實”給砍掉了．

筆者認為，審題主要是弄清題目已經(jīng)告訴了你什么，又需要你去做什么，從題目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點、推理目標(biāo)以及溝通起點與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息．解題經(jīng)驗表明，審題的關(guān)鍵是要抓好“審題審什么”的3個要點和“審題怎么審”的4個步驟[1-2]．

(1)“審題審什么”的3個要點是：

①弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何；

②弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何；

③弄清題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu).

(2)“審題怎么審”的4個步驟是：

①讀題——弄清字面含義；

②理解——弄清數(shù)學(xué)含義；

③表征——識別題目類型；

④深化——接近深層結(jié)構(gòu)．

題目的條件和結(jié)論是“怎樣解這道題”的2個信息源，審題的實質(zhì)是從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進的信息與啟示．下面通過2個典型案例來作說明．

1 案例1：相交弦中點的軌跡方程

這是一道軌跡方程與等差數(shù)列交叉的綜合題，常規(guī)思路是聯(lián)立方程組求交點，寫出中點，消參得軌跡．關(guān)鍵是“等差數(shù)列”的條件如何用？這是一個認識逐漸深化的過程，分2步講解．

1.1 題意的初步理解

(1)題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何．

初步理解條件有以下4個．

條件1 “a,b不同時為0”．這既可以保證等差數(shù)列a,b,c不全為0，又可以保證bx+ay+c=0為直線．

條件2“a,b,c成等差數(shù)列”．文字語言“等差數(shù)列”不能運算、難以推理，需要進行“數(shù)學(xué)含義”的解讀，可以有多種表征，如：

b-a=c-b,a+c=2b,a-b+c=0,

條件3“直線bx+ay+c=0”．因為a,b,c不是具體的數(shù)字，所以，這其實是一條動直線，受“a,b,c成等差數(shù)列”的制約，怎樣使用這個制約條件暫時還不清楚(或說直線是怎么動的還不清楚)，可以認為，此處還有一個隱含條件，需要在思路探求和結(jié)果反思中才容易發(fā)現(xiàn)．

有2個不相等的實數(shù)解．

(2)題目的結(jié)論是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何．

題目的結(jié)論是求直線與拋物線相交弦中點的軌跡方程F(x,y)=0．這包含著2個方面：

必要性相交弦中點的坐標(biāo)(x,y)是軌跡方程F(x,y)=0上的一個解.

充分性軌跡方程F(x,y)=0上的每一個解都是相交弦中點的坐標(biāo)(x,y)．

(3)題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)．

理解題目的條件和結(jié)論，可以看到一個已知軌跡方程(拋物線)經(jīng)過某種運動變化之后(與動直線相交產(chǎn)生相交弦的中點)形成一個新軌跡方程.于是，在眼前就出現(xiàn)這樣一個“軌跡轉(zhuǎn)移”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：通過解方程(組)溝通新舊軌跡(點)的聯(lián)系，消去參數(shù)a,b,c得出新軌跡．

至于如何建立和求解方程，怎樣消參等，則是“思路探求”和“書寫解答”的任務(wù)了．

思路1聯(lián)立方程

把x=-2y2代入直線方程，消去x，得

由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

從而

由此，可得中點坐標(biāo)

這時，“等差數(shù)列”的條件還沒有用，已有部分學(xué)生由于消參(消去a,b,c)困難而做不下去了．

思路2聯(lián)立方程

要消去x,y,a,b,c.把x=-2y2代入直線方程，消去x，得

2by2-ay-c=0,

由求根公式，得

把2b=a+c代入，消去b,得

得

代入拋物線方程x=-2y2，得

設(shè)相交弦中點的坐標(biāo)為(x,y)，則(消去了當(dāng)初的y)

1.2 題意的深入理解

對思路1、思路2陸續(xù)消去x,y,a,b,c的過程作反思，至少可以獲得3個新的認識．

(1)消去x后，方程2by2-ay-c=0是否為二次方程需對b進行討論．

當(dāng)b=0時，由a,b不同時為0，知a≠0；又由a+c=2b=0，得此時直線bx+ay+c=0為y=1，與拋物線只有一個交點(-2,1)，即沒有相交弦的中點軌跡；當(dāng)b≠0時，方程(1)為二次方程，才有相交弦的中點軌跡

可見，思路1出現(xiàn)了“會而不對”、思路2出現(xiàn)了“對而不全”的錯誤．

(2)由思路2知，動直線與拋物線相交于一個定點(-2,1)．

這時重新理解題意，即可發(fā)現(xiàn)a,b,c成等差數(shù)列應(yīng)表示為-2b+a+c=0，這表明，直線bx+ay+c=0過定點(-2,1)．因此，本例還應(yīng)有一個隱含條件：

條件5由a,b,c成等差數(shù)列,知直線bx+ay+c=0過定點(-2,1)．

(3)既然動直線與拋物線相交于一個定點(-2,1)，那么題目的結(jié)構(gòu)就變成動直線繞定點(-2,1)旋轉(zhuǎn)，除了恰有一個公共點的2種情況(與拋物線相切時x+4y-2=0、與對稱軸平行時y=1)外，動直線均與拋物線相交于2個點.這時，借助另一交點的“軌跡轉(zhuǎn)移”，便可求出新軌跡．這就使得“聯(lián)立方程組”、“求交點坐標(biāo)”均成為多余，也使得我們的認識更接近深層結(jié)構(gòu)．

思路3(1)當(dāng)b=0時，已知直線為ay+c=0，由a,b不同時為0，知a≠0.再由a+c=2b=0得c=-a≠0，故已知直線為y=1，與拋物線只有一個交點.此時，無相交弦，更無相交弦的中點軌跡．

(2)當(dāng)b≠0時，由a,b,c成等差數(shù)列有-2b+a+c=0，這表明直線bx+ay+c=0過定點A(-2,1)．設(shè)直線與拋物線的另一個交點為B(x2,y2)，而相交弦AB的中點為(x,y)，由中點公式，得

即

由點B(x2,y2)在拋物線上，得

從而相交弦中點的軌跡方程為

思路4由a,b,c成等差數(shù)列得c=2b-a，代入直線方程得

這條直線對任意的a,b(不同時為0)過定點A(-2,1)．

(1)當(dāng)b=0時，由a,b不同時為0，知a≠0，直線方程(2)為y=1，與拋物線只有一個交點A(-2,1)，即無相交弦，更無相交弦的中點軌跡．

(2)當(dāng)b≠0時，直線方程(2)過定點A(-2,1)．設(shè)直線與拋物線的另一個交點為B(x2,y2)，而相交弦AB的中點為(x,y).

以下同思路3.

說明因為B(x2,y2)是與A(-2,1)不同的另一個交點，因此按照中學(xué)的習(xí)慣，點(-2,1)應(yīng)從軌跡方程中去掉．但也有另一種觀點認為，添上極限點(-2,1)能使軌跡方程更加完整，不妨把2個重合交點的中點認定為(-2,1)本身．筆者的建議是此題不作糾纏，考試中去不去掉極限點都不扣分．

2 案例2:余弦定理的逆定理

例2敘述余弦定理的逆命題，并證明它的真假．

這道題目讀懂字面含義并不困難，思路也非常清晰：交換余弦定理的條件與結(jié)論，便可以得出它的逆命題．但這還不能算審清了題意，在與學(xué)生的交流中得知，很多學(xué)生就“審不清”題意，對余弦定理的“條件是什么、結(jié)論是什么”理不順，怎么證明真假更是有困難．下面筆者分3步來進行講解．

2.1 余弦定理的條件是什么、結(jié)論是什么

余弦定理的文字敘述為“三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的2倍”．這種敘述方式不便于分解出條件是什么、結(jié)論是什么，把它改寫為“如果，那么”的符號形式：

(1)第1步改寫：如果在△ABC中，a,b,c為角A,B,C的對邊，那么

這時，看到的是“三角形的一個性質(zhì)”:條件是三角形中的6個基本量(3條邊和對應(yīng)的3個內(nèi)角)，結(jié)論是三角形中的這6個量分別滿足的等式(3)～(5)．這種敘述的主體是“三角形”，而逆命題中“三角形”只能出現(xiàn)在結(jié)論不能出現(xiàn)在條件，因此，將敘述主體改寫為“6個基本量”，而“組成三角形”是這“6個基本量”的性質(zhì)．

(2)第2步改寫：如果a,b,c組成三角形，它們的對角分別為A,B,C，那么

a2=b2+c2-2bccosA；

b2=a2+c2-2bccosB；

c2=a2+b2-2bccosC.

這時，余弦定理的條件有2個(共6個量)．

條件1a,b,c為三角形的3條邊長.

條件2a,b,c的對角分別為A,B,C．

余弦定理的結(jié)論有3個，即6個量分別滿足的等式(3)～(5)，每個等式都有a,b,c和一個內(nèi)角(輪轉(zhuǎn)對稱的結(jié)構(gòu))．

弄清了余弦定理的條件和結(jié)論，寫逆命題就水到渠成了．簡單地說，余弦定理告訴我們，如果6個量是三角形的3條邊和對應(yīng)的3個內(nèi)角，那么這6個量滿足3個等式．反過來，如果6個量滿足3個等式，那么這6個量是三角形的3條邊和對應(yīng)的3個內(nèi)角．

2.2 余弦定理的逆命題1

逆命題1若a,b,c為正實數(shù)，α,β,γ∈(0,π)，有

則a,b,c對應(yīng)的線段構(gòu)成一個三角形，且邊a的對角為α，邊b的對角為β，邊c的對角為γ．

講解這是一個真命題，可作如下的審題分析．

(1)題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何．

逆命題的條件有4個．

條件16個量a,b,c(正實數(shù))，α,β,γ(在(0,π)內(nèi))；

條件2a,b,c，α滿足的等式(6)；

條件3a,b,c，β滿足的等式(7)；

條件4a,b,c，γ滿足的等式(8)．

(2)題目的結(jié)論是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何．

逆命題的結(jié)論有2個．

結(jié)論1a,b,c可以成為三角形的3條邊長；但組成“三角形”是文字語言，不能運算、難以推理，需要進行“數(shù)學(xué)含義”的解讀，可以有多種表征，如：

表征13個不等式

或不等式

|b-c|

或不等式

表征2三角形作圖．利用“兩邊夾角”(比如b，c，α)作三角形，然后驗證所作的三角形3條邊長為a,b,c．

結(jié)論2a,b,c的對角分別為α,β,γ．但“對角”是文字語言，不能運算難以推理，需要進行“數(shù)學(xué)含義”的解讀．可以通過圖形，或余(正)弦定理來確定邊與角的對應(yīng)．

(3)弄清題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)．

①先說結(jié)論1的表征1．列表1作差異分析：

表1 表征1與逆命題1中條件的比較

于是，題意的理解就在我們眼前呈現(xiàn)這樣一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：從等式到不等式的條件不等式的證明.具體地說，就是將等式a2=b2+c2-2bccosα放縮，消去α，得不等式a

②再說結(jié)論1的表征2．由“兩邊夾角”(b，c，α)總可以作三角形，因此，驗證“所作的三角形的3條邊長為a,b,c”，只需驗證第3邊為a，這相當(dāng)于用余弦定理解三角形．于是，題意的理解就在我們眼前呈現(xiàn)這樣一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：作三角形并求解(參見證明2，構(gòu)造性的證明)．

③最后說結(jié)論2．這時結(jié)論1成為了一個已知條件，而結(jié)論1所得出的三角形本身有內(nèi)角，因此，證明“a,b,c的對角分別為α,β,γ”就是證明角相等．而要證明2個角相等，一條途徑是證明這2個角“在同一個單調(diào)區(qū)間且有相等的函數(shù)值”．于是，題意的理解就在我們眼前呈現(xiàn)這樣一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：證明2個角在同一個單調(diào)區(qū)間且有相等的函數(shù)值．

證法1由0<α<π，得

-1

消去α，得

a2=b2+c2-2bccosα

又a,b,c為正實數(shù)，開方得

同理

因此a,b,c對應(yīng)的線段可以構(gòu)成一個三角形.記這個三角形為△ABC，而邊a的對角為A，邊b的對角為B，邊c的對角為C，角A,B,C∈(0,π)，由余弦定理，得