軸、橫向荷載下基于局部彼得羅夫-伽遼金法的超長樁受力分析

吳 鳴，鐘永國

(汕頭大學(xué) 土木工程系，廣東 汕頭 515063)

隨著國民經(jīng)濟(jì)的持續(xù)穩(wěn)健發(fā)展，高層、超高層建筑及大跨徑、新結(jié)構(gòu)橋梁的大量涌現(xiàn)，超長樁在工程建設(shè)中的應(yīng)用越來越廣泛，給樁基理論研究與實(shí)踐提出了新的課題與挑戰(zhàn).但迄今對(duì)超長樁的承載性能研究大都局限于豎向或水平荷載的單獨(dú)作用，而對(duì)軸、橫向荷載共同作用下超長樁樁土相互作用的研究文獻(xiàn)甚少，且大多集中在單層土中的中短樁.然而，由于風(fēng)荷載、地震作用、輪船的撞擊荷載及車輛的動(dòng)力荷載，實(shí)際工程中樁基礎(chǔ)常常處于軸、橫向荷載(即傾斜荷載)的共同作用，僅受豎向或橫向荷載作用的情況很少.目前，在已有文獻(xiàn)中有關(guān)超長樁的承載變形機(jī)理研究大多基于比較成熟的有限元法，然而有限元法在處理諸如大變形、樁土接觸面等問題時(shí)將會(huì)遇到網(wǎng)格畸變、網(wǎng)格移動(dòng)等難題，超長樁承載變形機(jī)理研究的突破很大程度上依賴于引入合適的數(shù)值計(jì)算方法，超長樁在軸、橫向荷載作用下，不僅其水平力將使樁身產(chǎn)生較大的彎矩和撓曲變形，豎向力也將由于樁身撓曲變形的出現(xiàn)而產(chǎn)生一附加彎矩(即所謂的“P-Δ”效應(yīng))，而這一附加彎矩又將促進(jìn)樁身撓曲變形的增加.此外，樁側(cè)土體的彈性抗力分布也非常復(fù)雜，因此至今尚無成熟的計(jì)算方法.目前，各規(guī)范均采用簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，難以準(zhǔn)確評(píng)價(jià)軸、橫向荷載下樁身內(nèi)力和位移的變化情況，只適用于線彈性小變形情況，具有一定的局限性.對(duì)橫向荷載較大，且土質(zhì)較軟的橋梁樁基，尤其是在無縫橋梁的大變形條件下，該問題更為突出.

對(duì)于軸、橫向荷載同時(shí)作用下基樁的內(nèi)力和位移分析，日本學(xué)者橫山幸滿(1984年)、我國范文田(1986年)、趙善銳(1987年)以及文獻(xiàn)[1—2]等分別在“張氏法”和“m”法假設(shè)前提下進(jìn)行過探討，國外Meyerhof、Sastry等[3-4]對(duì)該項(xiàng)研究進(jìn)行了大量卓有成效的工作，尤其是其試驗(yàn)研究為該領(lǐng)域的開展做出了突出的貢獻(xiàn).盡管國內(nèi)外一些學(xué)者對(duì)該問題進(jìn)行了研究，但從目前的研究文獻(xiàn)看，對(duì)于軸、橫向荷載下超長樁的研究都基于冪級(jí)數(shù)解答或有限元等傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法，無論從設(shè)計(jì)分析理論上，還是在工程實(shí)踐中尚存在較多的問題和不足，有待進(jìn)一步完善和發(fā)展.

筆者將引入無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)，以期實(shí)現(xiàn)軸、橫向荷載下超長樁樁土相互作用的數(shù)值模擬，提出針對(duì)超長樁在軸、橫向荷載共同作用下既能滿足計(jì)算精度又便于工程應(yīng)用的新的計(jì)算分析模型和計(jì)算方法，為無網(wǎng)格法在樁基工程及土木工程領(lǐng)域的應(yīng)用打下基礎(chǔ)，也為分析超長樁承載性能的數(shù)值計(jì)算方法提供另外一種選擇.這里尤其值得一提的是文獻(xiàn)[5—7]對(duì)無網(wǎng)格彼得羅夫-伽遼金法在樁基工程領(lǐng)域的應(yīng)用做了大量的工作，但是都基于單一承受水平或豎向荷載的情況，用于軸、橫向荷載下超長樁的研究分析還尚未見報(bào)道.

1 軸橫向荷載及大變形下超長樁分析的無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)

1.1 無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)

目前，在工程實(shí)踐中，軸、橫向荷載共同作用下超長樁的受力分析與計(jì)算大都采用以文克爾假設(shè)為基礎(chǔ)的彈性地基梁法[2-3]，其將樁周土看作為一個(gè)個(gè)孤立的橫向彈簧，不易考慮地基土的層狀構(gòu)造，以及土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性特性，并忽略了土體的連續(xù)性，因而不能充分反映樁-土共同作用的實(shí)際情況，尤其是大變形條件下更是如此.

當(dāng)前，用于超長樁分析中的無網(wǎng)格法都是基于使用移動(dòng)最小二乘近似函數(shù)進(jìn)行插值的無網(wǎng)格伽遼金法(EFGM)或者無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)進(jìn)行數(shù)值模擬，前者需要利用全局背景網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值積分以計(jì)算系統(tǒng)矩陣，不能算作真正的無網(wǎng)格法；后者無論是函數(shù)近似還是積分均不需要全局網(wǎng)格，其分析過程與基于強(qiáng)式的數(shù)值方法，如有限差分法(FDM)很相似[8].

筆者采用 MLPG法，同時(shí)考慮軸、橫向力共同作用，考慮材料的不連續(xù)性以及基樁的大變形 P-Δ效應(yīng).地基采用層狀橫向各向同性彈性半空間地基模型，A類邊界條件，具體可參見文獻(xiàn)[7—8].

局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)離散格式[8]如下，彈性力學(xué)中 MLPG的局部弱式可通過以下加權(quán)殘量法得到

式中：wi為權(quán)函數(shù)矩陣，第二項(xiàng)積分用于施加位移邊界條件，這是因?yàn)?MLPG中的 MLS(moving leastsquare approximation，移動(dòng)最小二乘近似)形函數(shù)不具備 Kroneker δ 函數(shù)性質(zhì)，從而采用罰函數(shù)法施加位移邊界條件；Ωq是結(jié)點(diǎn)i的局部積分域；Γqu是與積分域Ωq相交的那部分位移邊界；α 是懲罰因子，文中統(tǒng)一采用相同的懲罰因子；ui及分別為接觸面上兩邊的域內(nèi)的位移.

采樣點(diǎn)X處的位移可采用MLS形函數(shù)，近似表示為

式中：Φi為MLS形函數(shù)；Φ 為有MLS形函數(shù)所組成的矩陣.

對(duì)(1)式左邊第一項(xiàng)第一部分進(jìn)行分部積分得

式中：nj為邊界上單位外法線向量的第j個(gè)分量.

把(2)、(3)式代入(1)式進(jìn)行離散、合并整理后可以得到

式中：Ki為第i個(gè)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)剛度矩陣；fi為節(jié)點(diǎn)力向量，具體計(jì)算公式如下

式中： Γqt為與積分域相交的表面力邊界；Vi為權(quán)函數(shù)導(dǎo)數(shù)矩陣；D、B分別為彈性常數(shù)矩陣和應(yīng)變矩陣；n為邊界上的單位外法線向量為表面力向量，b為外力向量.

然后對(duì)問題域內(nèi)所有 N個(gè)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用(4)式，組裝即可得到總體系統(tǒng)方程.MLPG的系統(tǒng)方程為離散線性代數(shù)方程形式，即

解此方程可得到結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)，進(jìn)而利用(2)式可求得問題域內(nèi)任意點(diǎn)的真實(shí)位移，從而可求得應(yīng)力和應(yīng)變.

1.2 材料不連續(xù)問題的處理

Cordes等人提出了一種處理材料不連續(xù)問題的可視性準(zhǔn)則[9]，按照這種方法用 MLS 構(gòu)造的試探函數(shù)和檢驗(yàn)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在材料界面處是不連續(xù)的，因此需要在材料界面處施加約束條件.兩側(cè)樁、土兩種材料所占據(jù)的區(qū)域分別記為Ω-和Ω+并已有學(xué)者在無網(wǎng)格法當(dāng)中應(yīng)用.在離散式中表現(xiàn)為式(1)左邊第二項(xiàng)所采用的罰函數(shù)法.ui及分別為接觸面上相應(yīng)于土域Ω+和樁域Ω-內(nèi)的位移.

1.3 基樁大變形的MLPG法處理方法

按文獻(xiàn)[7]所述基樁大變形問題的處理方法，即采用完全的拉格朗日法，以初始時(shí)刻構(gòu)形為參考構(gòu)形，增量迭代進(jìn)行計(jì)算.每級(jí)荷載增量為ΔPi，在第 i個(gè)增量步迭代收斂后，可由第i個(gè)增量步開始時(shí)的切向剛度矩陣[K]i-1(其中包含了第i個(gè)增量步以前所有加載過程中各種非線性因素對(duì)樁土系統(tǒng)剛度矩陣的貢獻(xiàn))提取線性荷載值，相應(yīng)的提取非線性荷載值的方程可表示為

式中：[K]i-1為第 i個(gè)增量步開始時(shí)系統(tǒng)的切向剛度矩陣；[ΔK]σ 為系統(tǒng)幾何剛度矩陣；{Δd}為增量位移；{Δf }為增量外荷載、體力和面力矩陣.

針對(duì)MLPG法(7)式最終簡(jiǎn)化為

式中：[K]為對(duì)樁土分析域各節(jié)點(diǎn)按權(quán)重和形函數(shù)在其定義域積分得到的剛度矩陣.這樣，無網(wǎng)格法具有了和有限元法相似的平衡方程形式.計(jì)算當(dāng)中將計(jì)入樁頂P-Δ效應(yīng)對(duì)樁身內(nèi)力的影響.

2 計(jì)算結(jié)果分析

為進(jìn)一步分析軸、橫向荷載下橋梁基樁的 P-Δ效應(yīng)及驗(yàn)證本文方法的正確性，采用 MLPG法對(duì)文獻(xiàn)[10]中的算例進(jìn)行了計(jì)算，如圖 1所示.圖中E2＝19333 MN/m2，E1＝18000 MN/m2.樁端支于土中(非嵌巖)，樁側(cè)土地基比例系數(shù) m＝10 MN/m4，計(jì)算結(jié)果如表1所示.表中同時(shí)列出了冪級(jí)數(shù)及有限元法相應(yīng)的各種解答，以資比較.

筆者還給出了考慮和不考慮軸向力時(shí)樁身彎矩及位移隨深度的變化圖，如圖2-3所示.

從表1可見，本方法計(jì)算結(jié)果與冪級(jí)數(shù)和有限元法所得結(jié)果基本一致.由于P-Δ效應(yīng)，樁身彎矩和位移值提高較大，當(dāng)計(jì)入軸力時(shí)，其樁頂位移增大29.7%，地面處樁身位移增大27.3%，彎矩增大31.4%，樁身最大彎矩增大29.4%.如果軸向荷載再增加，樁身的內(nèi)力和位移將增加更快，并呈非線性增加.因此，當(dāng)基樁的自由長度及軸向荷載較大時(shí)，P-Δ效應(yīng)是不可忽視的.

圖1 基樁受力圖

表1 內(nèi)力位移計(jì)算比較

從圖2-3中還可以看出，隨著基樁入土深度的增加，P-Δ效應(yīng)越來越不明顯，這是由于隨著入土深度的增加，樁身撓曲位移極小而導(dǎo)致P-Δ效應(yīng)極微.由此可見，對(duì)于低承臺(tái)樁基的分析可不考慮P-Δ效應(yīng)，以簡(jiǎn)化計(jì)算.

圖2 樁身彎矩比較

圖3 樁身位移比較

3 結(jié) 語

(1)采用局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)，能克服有限元法在處理諸如大變形、樁土接觸面出現(xiàn)滑移，脫開等問題時(shí)將會(huì)遇到的網(wǎng)格畸變、網(wǎng)格移動(dòng)等難題，為無網(wǎng)格法在樁基工程領(lǐng)域的應(yīng)用打下了基礎(chǔ).

(2)該方法解決了超長樁大變形、材料不連續(xù)性等難題，在分析中考慮了層狀地基及 P-Δ效應(yīng)，緊貼實(shí)際應(yīng)用，它不需要全局背景網(wǎng)格，是一種真正的無網(wǎng)格法.

(3)在基樁自由長度和軸向荷載較大時(shí)，由于P-Δ效應(yīng)，樁身最大彎矩和樁頂位移提高很大，在設(shè)計(jì)計(jì)算中不容忽視.

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