揭秘中考中的數學思想

☉河北省懷安縣世恩中學 溫海蕓

數學思想是數學的靈魂，隨著新課程的實施與深入開展，數學題型越來越新穎、多樣，如果因循守舊，僅用一些傳統題型或固定模式進行解決是無法在中考中出奇制勝的，我們只有在學習數學中理解數學思想方法的本質，平時注意數學思想方法的靈活應用，我們才能夠在中考中出奇制勝.

一、方程思想

所謂方程思想就是從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，把已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.方程知識是初中數學的核心內容，理解方程思想并應用于解題當中十分重要.

例1 在一次課題學習課上，同學們為教室窗戶設計一個遮陽篷，小明同學繪制的設計圖如圖1所示，其中，AB表示窗戶，且AB=2米，BCD表示直角遮陽篷，已知當地一年中在午時的太陽光與水平線CD的最小夾角α為18.6°，最大夾角β為64.5°.

請你根據以上數據，幫助小明同學計算出遮陽篷中CD的長是多少米？（結果保留兩個有效數字，參考數據：sin18.6°=0.32，tan18.6°=0.34，sin64.5°=0.90，tan64.5°=2.1）

解：設CD的長為x米，在Rt△BCD中，∠BDC=α=18.6°.由tan所以BC=CD·tan∠BDC=0.34x.在Rt△ACD中，∠ADC＝β=64.5°，所以AC=CD·tan∠ADC=2.1x.由AB=AC-CD，所以2=2.1x-0.34x.所以x≈1.1.

答：遮陽篷中CD的長是1.1米.

二、數形結合思想

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.數形結合思想即是把代數、幾何知識相互轉化的一種解題思想.在一元一次不等式（組）中，用數軸表示不等式的解集就是數形結合的具體體現.

分析：欲求不等式組的自然數解，一般思路是先求出不等式組的解集，再在數軸上表示出來，從而進一步求出問題的答案.

解不等式4x－6≥7x－15，得x≤3.所以，原不等式組的解集是其解集在數軸上表示如圖2所示，所以其自然數解為0、1、2.

圖2

三、分類討論思想

分類討論思想就是針對數學對象的共性與差異性，將其區分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查學生思維的全面性與嚴謹性.要做到成功分類，需注意兩點：一是要有分類意識，善于從問題的情境中抓住分類對象；二是找出科學合理的分類標準，滿足不重不漏的原則.

例3 等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長是6，求另兩條邊的長.

分析：由于已知的“一條邊的長是6”，未告知是腰長，還是底邊長，所以應分類討論求解.

解：（1）當腰長為6時，該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長為6，另一條邊為底邊，長為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4；（2）當底邊長為6時，該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長為（16-6）÷2=5，即另兩邊長為5、5.

四、轉化思想

轉化是解數學問題的一種重要的思維方法.轉化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，就解題的本質而言，解題就意味著轉化，即是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“陌生”轉化為“熟悉”，把“抽象”轉化為“具體”，把“一般”轉化為“特殊”，把“高次”轉化為“低次”，把一個綜合問題轉化為幾個基本問題，把順向思維轉化為逆向思維等.

例4 一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm.母線OE（OF）長為10cm.在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點.則此螞蟻爬行的最短距離為______cm.

分析：要計算螞蟻在一個圓錐側面的最短距離，我們一般是先將圓錐側面展開，利用“兩點之間，線段最短”來找出最短的路線，然后根據勾股定理，在一個直角三角形中求出這個最短的距離.

圖3

五、整體思想

研究某些數學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識地放大考查問題的視角，將要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構或作整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的，這就是整體思想.

例5 已知某個三角形的周長為18cm，其中兩條邊的長度和等于第三條邊長度的2倍，而它們的差等于第三條邊長度的求這個三角形的三邊長.

分析：三角形有三條邊，題目中有三個條件，此題需設三角形的三邊為未知數，列方程組解答.

解：設三角形的三邊長分別為a、b、c，（a>b），則依題意得：

將（2）整體代入（1），得2c+c=18，解得c=6.

再將c=6代入（2）（3）得：

因此，所求三角形的三邊長為7、5、6.

除此之外，初中數學階段也經常用到函數思想、建模思想以及待定系數法，它們在解決特定的問題時往往能起到事半功倍的效果.《數學課程標準》在課程目標中也明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必須的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能.”由此可見，掌握一定的數學思想和方法遠比掌握一般的數學知識有用的多.