再談“數形結合”在數學解題中的作用

☉江蘇省贛榆高級中學 關余友

數學思想方法是數學的靈魂，是數學知識的高度概括，它貫穿于整個數學教學活動的始終.最常用的數學思想有方程思想、不等式思想、函數思想、類比思想、數形結合思想、分類討論思想等.數形結合思想是中學數學教學中的重要思想方法之一，它在高考中占有非常重要的地位，通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.很多數學問題用此方法來解，可以達到化難為易的目的.高中數學教學中應重視這種思想方法的滲透，從而幫助學生提高分析問題和解決問題的能力.

數形結合思想應用廣泛，高考試題對數形結合的考查主要涉及：（1）考查集合及其運算問題；（2）考查用函數圖像解決有關問題（如方程、不等式、函數的有關性質等）；（3）考查用向量解決有關問題；（4）考查三角函數的圖像及其應用；（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合.

一、數形結合在集合中的應用

在解集合問題中要注意圖形與符號、圖形與文字之間的轉譯，充分發揮圖像在解題中的作用.

例1 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M，N滿足M∩N={1，3}，（CUM）∩N={2}，CU（M∪N）={5}，則集合M=________

分析：集合M，N比較抽象，欲具體考察其關系有困難，若能借助集合的圖示（文氏圖），就能化抽象為具體，故可作出文氏圖（圖1）加以解決，集合M={1，3，4}.

二、數形結合在函數中的應用

方程或不等式的問題常可轉化為研究兩個函數圖像交點或位置關系的問題.

分析：圖像法解不等式具有運算量小，思維量小，簡潔明了等優點，實質是轉化與化歸思想的應用.

從圖像中可以觀察出：原不等式的解為：當a≥1時，x≥0；當0＜a＜1時，0≤x≤x0（其中x0為y=與y=ax+1的圖像的交點的橫坐標）.

三、數形結合在解析幾何中的應用

用解析幾何中的重要公式（如斜率、兩點間距離公式、定比分點公式等）與定義來謀求數式背景及相關性質.

例3 已知圓C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點.

（2）求x-2y的最大、最小值.

分析：認真分析和研究代數式的結構特征，運用類比聯想，將已知條件轉化為直觀形象的圖形，或挖掘出代數式的幾何意義并使之形象化、具體化是數形結合運用能力的體現.本例中，將最值問題轉化為直線斜率的最值問題和直線在y軸上的截距的最值問題，并作出相應圖像，使問題一目了然，迅速獲解.

四、數形結合在數列中的應用

解：由任意的n∈N*，都有an≥a8成立，得a8為數列{an}中的最小項.

分析：以上解法錯誤的原因就是對兩個函數的圖形畫得不準確，當然一般情況下我們也不可能畫出準確的圖形，那怎么辦？就必須借助已知條件所提供的信息.