例談利用三次函數模型解決實際問題

☉江蘇省興化市戴南高級中學 趙亞兵

函數是每年高考的必考內容之一，高考在利用函數模型處理實際問題方面的考查有上升趨勢，一次函數和二次函數的應用是高考命題的常見題型.然而三次函數也已經成為中學階段一個重要的函數，在高考和一些重大考試中頻繁出現有關它的單獨命題.我們通過對近幾年高考試題的分析發現：利用三次函數模型處理實際問題成為近年來高考命題的熱點之一，題目涉及的三次函數一般都是以其為載體，通過其性質來解釋生活現象，主要涉及經濟、環保、能源等社會領域.筆者以高考試題的解析來說明如何靈活運用三次函數的性質和特點處理實際問題.

高中數學中由于導數內容的介入，使得研究函數的性質變得簡捷、易懂，通過求導可以直接研究函數的單調性和極值，其操作的步驟學生易掌握，判別的方法也不難.尤其是：當f（x）為三次函數時，通過求導得到的f′（x）為二次函數，且原函數的極值點就是二次函數的零點.同時利用導數的幾何意義：曲線在某一點P（x0，y0）處的切線的斜率k=f′（x0），可得到斜率k為關于x0的二次函數.根據這些特點，一般三次函數問題，往往可通過求導，轉化為二次函數或二次方程問題，然后結合導數的基本知識及二次函數的性質來解決.

性質1：函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a＞0，當Δ≤0時，y=f（x）是增函數；

當Δ＞0時，其單調遞增區間是（-∞，x1］和［x2+∞），單調遞減區間是［x1，x2］.

若a＜0，當Δ≤0時，y=f（x）是減函數；當Δ＞0時，其單調遞減區間是（-∞，x2］和［x1，+∞），單調遞增區間是［x2，x1］.

性質2： 函數（fx）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈［m，n］，若x0∈［m，n］，且f（x0）=0，則：f（x）max=max{f（m），f（0），f（n）}；f（x）min=min{f（m），f（x0），f（n）}.

下面通過一道高考試題來說明利用三次函數性質來處理實際問題.

（1）求a的值；

（2）若該商品的成品為3元/kg，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

商場每日銷售該商品所獲得的利潤為：

f′（x）=10 ［（x-6）2+2（x-3）（x-6）］-30（x-4）（x-6）.令f′（x）=0，得x=4.

函數f（x）在（3，4）上單調遞增，在（4，6）上單調遞減.

當x=4時，函數f（x）取得最大值f（4）=42.

當銷售價格x=4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42元.

點評與反思：本題主要考查函數模型的選擇與應用，利用導數研究三次函數的單調性從而解決實際生活中的優化問題.第二問中，商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，得出日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值.

總之，利用三次函數模型處理實際問題的關鍵是：先掌握三次函數的三條性質，然后用導數作為工具來研究函數的單調性和極值.由于三次函數的導函數是二次函數，因此，考查三次函數能把導數的有關知識和二次函數的問題巧妙地結合起來，具有一定的綜合性和很好的區分度，所以，全面認識三次函數的圖像與性質，對于備戰高考意義重大，同時也有助于提高對知識系統性的理解水平，拓寬解題思路.