運用數形思想 巧解數學問題

☉江蘇省鹽城高等師范學校 沈 紅

數形結合思想能把抽象的知識、數量關系與直觀的圖形以及位置關系結合起來，通過“由形化數”或“由數化形”，進行“數形轉換”，可以將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到巧解數學問題的目的.下面，筆者結合自己教學實踐經驗，談幾點對運用數形結合思想，巧解數學問題的認識和看法，以供讀者參考.

一、運用數形結合思想，巧妙解決代數問題

數形結合思想，大致分為兩種情況：一是以數解形；二是以形助數.往往是通過精確的數來闡明形的某些屬性，也可以通過形的幾何直觀性，來說明數之間的某種關系，進而不斷揭示數學解題方法或策略.在教學中，有些代數問題，從直觀去分析，尋求解決問題的突破口或解題途徑，不易發現，使同學們不易走出困境.但我們如果構造幾何圖形，這樣就非常容易使同學們發現解題的途徑，使問題解決變的柳暗花明.

（1）若同時滿足①、②的x值也滿足③，求m的取值范圍；

（2）若滿足③的x值至少滿足①和②中的一個，求m的取值范圍.

解析：同學們根據已有知識，在下面熱烈討論，他們思考得出：該問題涉及整式、分式不等式和含絕對值不等式的知識，個人認為關鍵弄清同時滿足①、②的x值滿足③的充要條件是：③對應的方程的兩根分別在區間（-∞，0）和［3，+∞）內.但要進行解決，需要把它們轉化成圖形，這樣使問題不難化解，從中找到突破口，使問題迎刃而解.

二、運用數形結合思想，巧妙解決三角問題

眾所周知，三角函數變換問題蘊含著豐富的幾何圖形.如果把三角函數的問題融于幾何圖形之中，把數（量）與圖形有機地結合起來，進行討論、分析、研究，這樣就能有效地促進同學們從抽象復雜的三角函數關系，經過幾何圖形觀察，從中直觀地發現問題解決的途徑，達到事半功倍的效果.

分析：本案例是和差化積問題，通過三角函數公式，進行逐步化簡，難度并不大，但我們利用單位圓進行問題轉化，使問題解決顯得獨到好處，同學們在下面很快得出下列解法.

三、運用數形結合思想，巧妙解決幾何問題

在教學中，我們要經常把幾何問題代數化，去借助解方程（組）、不等式（組）、向量坐標等運算，來引導學生確定圖形關系，去探討解決問題的方法.所以，首先，我們要給學生梳理所學數學知識和數學方法；其次，要引導學生挖掘教材中隱藏的數學思想方法；第三，要把分析問題和解決問題的策略、方式、方法教給學生.同時要讓同學們得到一定的訓練，感受到其中的學習樂趣.

例3已知正方形ABCD邊長為1，P是平面內任一點，求f（P）=PA+PB+PC+PD的最小值.

解析：如圖2，建立坐標系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），設P（x，y），則：

由其特征，可用復數法解決該題. 設z1=x+yi，z2=x+（1-y）i，z3=（1-x）+（1-y）i，z4=（1-x）+yi，中，當且僅當x=y=時等號成立.f（P）的最小值為2