利用導數求函數的極值（最值）的幾個特例

☉江蘇省連云港高級中學 高 原

函數的導數，作為一種工具，被引入到我們的新教材中.它的一個重要的作用就是求函數的極值（最值），但是在利用它求極值（最值）時，往往有很多的誤區，現總結如下.

特例1 設x0是函數y=f（x） 的極值點，則下列說法正確的是（ ）.

A.必有f′（x0）=0B.f′（x0）不存在

C.f′（x0）=0或f′（x0）不存在D.f′（x0）存在但可能不為0

答案：C

解析：函數f（x）=x3，f ′（x）=3x2，f ′（0）=3×02=0，但x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，故盡管有f′（0）=0，但0不是函數的極值點.

評注：x0是函數的極值點是f′（x0）=0的既不充分也不必要的條件，即x0是函數的極值點時，有f ′（x0）=0或f ′（x0）不存在；當f ′（x0）=0時，x0也不一定是函數的極值點.

特例2 設函數f（x）=（x3-1）2+1，下列結論正確的是（ ）.

A.x=1是函數的極小值點，x=0是極大值點

B.x=1及x=0均是函數的極大值點

C.x=1及x=0均是函數的極小值點

D.x=1是函數的極小值點，函數無極大值點

答案：D

解析：令f′（x）=6（x3-1）x2=0，解得x1=0，x2=1.列出表格如下：

即當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，x∈（0，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，所以函數在x=1處取得極小值，無最大值.

評注：我們在利用函數的導數求函數的最值時，一定要認真觀察函數在各段上導數的符號，從而準確判斷各段上函數的單調性，確定函數的極值和最值.

特例3 函數f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）…（x-50）在x=0點處的導數為（ ）.

A.0 B.502C.100 D.50!

答案：D

（法二：導數的積運算）f（x）=x·［（x-1）（x-2）…（x-50）］.

A.有最大值2，無最小值 B.無最大值，有最小值-2

C.最大值2，最小值-2 D.無最值

答案：C

當x=0時，y=0，即-2≤y≤2，函數有最大值2，最小值-2.

誤解：列表如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）y′ - 0 + 0 -y↘-2↗2↘

因為函數的定義域為R，則函數的圖像大致如圖1，

故函數無最值.

評注：要注意當x→+∞，-∞時，函數的極限值，否則很容易認為函數無最值.實際上函數在x→+∞，-∞時的函數值是介于-2到2之間的，所以函數有最大值2，最小值-2.